как завоевать доверие?

не врать, не быть болтливой, стараться быть настоящим другом, проявить себя в хорошем свете хотя бы на мелочах

Своим отношением и поступками.

а надо ли знать все до конца... иногда такая ноша тягостна...

проще простого.
надо стать желанным собеседником= уметь слушать и задавать только наводящие вопросы+ постепенно копируя в процессе диалога жесты и тон собеседника, ввести его в транс откровенности.
+релаксанты- ал.. голь, нар... ки, секс, кальян, сауна- всё, что угодно- чтобы располагало к единению душ.
это я имею ввиду доступные и более-менее законные способы. безо всяких сывороток и полиграфов с иглами.
и в любом случае действует формула: время, посвящённое объекту+ ваша вовлечённость и открытость (пусть мнимая- но правильная) + ваш артистизм и терпение+ сопутствующие факторы (выше перечисленные+ что сами добавите) - впечатлительность и говорливость клиента= прямо пропорционально результату. и он не близок.

Тяжел чужих тайн груз, как бы не придавил. Подумайте, оно вам надо?

Если Ваша цель - завладеть чужими тайнами, то Вы - следователь? Иначе - зачем это Вам? Если Вы в ходе длительного общения с кем-то доказали, что не сплетница и не будете направо-налево распространять чей-то секрет, Вам и так расскажут, если сочтут нужным рассказать.

Не болтать и не выпытывать.

Тебе это очень надо? Пока ЭТО тебе нужно - никто тебе ничего не доверит! Обычно доверяют тем, кто не разболтает эту тайну.. . Тому, кому ЭТО НЕ ИНТЕРЕНСНО!
...А доверие можно завоевать своей порядочностью и стремлением к справедливости. Сказал - сделал! Сказал достану - достань! Сказал закопаю - закопай! Сказал "не дам" - даже не задумывайся...

чьё доверие?
кошачье?
или милидцейское?

Человека не заставить Вам доверять.
Да и Вам к нему не надо цепляться с фразами "мне можно доверять".
Все утверждения должны чем-то подкрепляться, в Вашем случае - терпение, время, более близкое знакомство.
Просто потерпите и всё.
Всё будет. :)