Чем отличаются шутки от прибауток?

Шутка самостоятельное выражение или произведение! А прибаутка - это словосочетание сочетание используемое для окрашивания речи в более оживлённую форму. Отсюда следует, что прибаутка может быть частью ШУТКИ, а наоборот нет!
Значение слова Шутка по Ефремовой:
Шутка - 1. То, что говорят или делают с целью вызвать смех, веселье; забавная выходка, шалость.
2. То, что говорят или делают не всерьез, к чему нельзя относиться серьезно.
3. Небольшая комическая пьеса. Комический рассказ, музыкальное произведение и т. п.

Значение слова Шутка по Ожегову:
Шутка - Небольшая комическая пьеса

ШУТКА, -и, ж. . То, что говорится или делается не всерьёз, ради развлечения, веселья; слова, не заслуживающие доверия. Сказать что-”, в шутку. Злую шутку сыграть с кем-^н. (причинить неприятность тому. кто её не ждал, к ней не готовился) . Шутки или шутку шутить (забавляться; разг. неодобр.) . 2. Небольшая комическая пьеса. Ш. в одном действии. 3. шутки! Выражение неодобрения, сомнения, удивления (ирон.) .

Значение слова Прибаутка по Ефремовой:
Прибаутка - Шутливое выражение, обычно в поэтической форме или поговорочного характера, употребляемое для оживления речи, разговора.

Значение слова Прибаутка по Ожегову:
Прибаутка - Забавная, остроумная, обычно рифмованная поговорка, вставляемая в речь

Приба-утки, это прибалтийские анекдоты

Пошутить можно и молча каким-то действием, а прибаутку нужно обязательно проговорить или хотя бы написать.

Вообще-то это синонимы, и тот и другой это забавный маленький рассказ, либо слово, либо сочетание слов. Но Nordon упомянул о безсловесной шутке, думаю он прав.