В чём военный гений Бату-хана что он завоевал полмира малыми силами по сравнению с армиями завоеванных государств?

Вполне возможно, что численность монгольской армии не была большой, относительно. Но в ходе похода Бату-хана к монголам присоединялись многие тюркские племена, так, что ни один так наз. историк, не скажет точную цифру. А Карамзин вообще не авторитет. Писал свою историю по заказу немца-Александра 1 !!!
Хан Бату довольно легко завоевал Русь, а точнее прошёлся по ней, так, как войны не было, был набег на разрозненные княжества.
В последствии Золотая орда была"крышей"для Руси, за что и взимала плату (дань)
И именно лёгкая конница монголов гнала немцев по Чудскому озеру, помогая А. Невскому (если он вообще существовал) )))
Во время, так наз. ига Русь офигенно поднялась в экономическом и военном плане. Так, что ещё не известно кто больше выиграл монголы или росичи...)))

Армия монголов по сути дела была профессиональной армией. Ни у одной страны не было такой армии.

1) примерно также, как
2) небольшая организованная группа рекетиров
3) собирает бабло с огромной толпы торговцев на рынке
4) так что никого он не завоевывал
5) а вот в плане организации - действительно был талантливый и, главное
6) очень удачливый "пацан"
7) других тоже немало было - другие просто не выживали

Как вообще кочевеники, не умеющие воевать, сумели объдиниться и не имея никакой экономической опоры разбить сильнейшие армии того времени? ВРАНЬЁ.

Хороший вопрос. Мудрый. Спецы выделяют 3 основных фактора. Дисциплина. Образ жизни соотв. всему что нужно для таких походов. Упадок завоеванных стран, на момент прихода орд страны грызлись или вели междоусобные войны. Еще - чингиз здорово разбирался в людях, собрал хороших соратнтков, аж внукам хватило.

Во-первых, разве 230 тысяч – это разве мало? В «Западный поход» было отправлено около половины войск Монгольской империи (по современным оценкам – около 150 тысяч воинов) , остальные остались для контроля над покорёнными территориями, значительная часть их находилась в Китае, где тогда шла война монголов с китайцами.
       Во-вторых, численность русских войск была меньше. Всё население Руси не превышало 5 миллионов человек (из них от 2/3 до 3/4 – это женщины, дети и старики) . Городское население не превышало 10%. Даже будучи единой и с учётом народного ополчения Русь смогла бы собрать не более миллиона воинов. Но, опять же, что такое миллион вчерашних крестьян и городских ремесленников против 150 тысяч хорошо обученных и проверенных в боях степняков? Общая же численность княыжеских дружин вряд ли превышала 50 тысяч.
       В-третьих, всё та же раздробленность Руси. Поодиночке завоёвывать значительно проще, чем воевать с объединёнными силами государства. После 1235 года с новой силой возобновились междоусобицы между князьями. В Северо-Восточной Руси владимиро-суздальские князья хоть и объединились, но их сил было явно недостаточно для серьёзного сопротивления. Остальные князья им помощи не оказали (если не считать небольшого отряда Евпатия Коловрата, присланного из Чернигова) . В Южной Руси князья вообще были каждый сам за себя – черниговские воевали сами, галицко-волынские тоже. Смоленские, турово-пинские и полоцкие князья вообще отсиделись, не оказав никому никакой помощи – первые были в обиде из-за утраты киевского стола, вторые были слишком слабы, а третьи заняты литовскими делами.
       В-четвёртых, монголам тоже не так легко далась победа над Русью. Они ограничились лишь покорением основных княжеств, на пол-пути до Новгорода они повернули назад (и не только из-за погодных условий) , на западные земли они воообще не пошли. При последующем вторжении в Центральную Европу их успехи были не такими уж и впечатляющими. Хотя они и одерживали победы, разорили Венгрию и Болгарию, но вынуждены были повернуть назад. Дальше Силезии и Моравии они не рискнули двигаться и повернули в более слабую Венгрию, а затем вернулись в свои степи. Впоследствие, когда Русь объединилась под властью московских князей, а Орда наоборот была разделена на несколько враждующих ханств, история повторилась наоборот – русские покорили большую часть ордынских владений.
       В-пятых, завоёванных территорий было не так уж и много – большая часть Руси (за исключением Полоцкой земли, попавшей под протекторат Литвы) , Дунайская Болгария, Валахия и Молдавия, Волжская Булгария, Алания и Половецкая сепь. Даже в этом случае Русь не вошла непосредственно в состав владений Золотой Орды (как это случилось с Волжской Булгарией, Половецкой степью, Молдавией и Валахией) , а стала лишь вассалом (данником) ордынских ханов. Так что «полмира» – это, мягко говоря, очень большое преувеличение.

       Так что Бату-хан был конечно очень способным военначальником, но приписывать ему какие сверхъестественные успехи по меньшей мере некорректно.