Почему крестоносцы воевали с Ромейской Империей (Византией)? Ведь они же только Гроб Господний освободить хотели.

Они еще денюжков хотели. Много-много.

...там запутанная история..
слово за слово, и - понеслась...

В действительности у крестоносцев была другая цель. Однако их появление в пределах империи породило обоснованное беспокойство ее правящих кругов. Алексей I встретил воинов христовых недоверчиво. Он принял меры к тому, чтобы по возможности избавить византийские владения, через которые проходили рыцарские ополчения, от разнузданности латинян. Отряды печенегов, находившиеся на службе империи, получили приказ «следовать и наблюдать за варварами и, если они станут нападать и грабить близлежащие земли, обстреливать и отгонять их отряды». Приказ этот неукоснительно выполнялся, о чем с раздражением упоминают латинские хронисты.

Опасаясь крестоносного воинства и воздвигая различные преграды на его пути, Алексей I вместе с тем не прочь был использовать силы незваных пришельцев с Запада в интересах Византии. Он решил склонить их вождей к принесению ему ленной присяги за все те земли, которые будут завоеваны крестоносцами и которые Византия ранее утратила в результате успехов сельджуков и других восточных народов: Малую Азию, Сирию и Палестину. Чтобы сделать главарей рыцарства сговорчивее, Василевс (еще в то время, когда ратники Божьи бесчинствовали на Балканах) начал наносить им с помощью печенежской конницы ощутимые удары. Несколько отрядов Раймунда Тулузского было разгромлено византийцами близ Редесто: крестоносцы бежали с поля боя, бросив оружие и оставив поклажу.

Одновременно в ход было пущено все искусство византийской дипломатии: греки являлись ее непревзойденными мастерами. Император выслал навстречу отрядам крестоносцев своих чиновников, распорядившись, «дружелюбно встретить переправившихся через Адриатику, в изобилии поместить на их пути запасы продовольствия». Когда в ноябре 1096 г. буря выбросила на берег Гуго Вермандуа и его доставили в Константинополь, Алексей I, рассказывает дочь Василевса, «принял его с почетом, всячески выражал ему свою благосклонность, дал много денег и тут же убедил стать его вассалом и принести обычную у латинян клятву». Этим был создан своего рода прецедент.

Однако навязать остальным главарям крестоносцев вассальные узы оказалось все-таки сложнее. Подробнее http://enoth.org/Crusades2/Zaborov02_04.htm

А откуда вы взяли, что не с мусульманами они воевали?

Дык, конфессия-то другая...

Александр Невский утопил крестоносцев за то чтоб не совали свой нос куда не надо.
А попы его потом его сделали святым, странно правда?!

Это послужило началом их конца.
Если бы не -то протянули бы дольше. Вот пример профанации религии до идеологии.

Для своих больших карманов.

Аттила поставил точку в существование Римской империи