В каких видах спорта судья может быть одновременно и участником игры, которую обслуживает? Как это выглядит?

В неигровых видах спорта судьи находятся, как правило, за бортиком, за канатами, за ковром и т. п. Непосредственно влиять на выступление спортсменов они не могут. Могут только выставлять оценки и выносить дисциплинарные взыскания за нарушение правил. Например, за фальстарт в беговых дисциплинах или за неправильное исполнение заявленного элемента в гимнастике или фигурном катании. В упомянутом вами боксе судьи сидят за канатами и подсчитывают количество нанесенных ударов. Рефери в ринге следит только за порядком.

В игровых видах спорта судья - участник действа всегда. Естественно, он не имеет права играть за одну из команд, но, так или иначе, любой судья в поле всегда влияет на ход игры. О результативных ошибках судей слагаются легенды. В значимых матчах, таких, как плей-офф Чемпионата Мира, например, где ошибка судьи повлияла на результат, болельщики помнят об этом десятилетиями и рассказывают об этом так, как будто это случилось вчера.
Самый знаменитый судья последнего времени - Пьерлуиджи Коллина , легендарный итальянский арбитр, который умел не просто быть участником игры, а самым что ни на есть главным действующим лицом.

Так вот, ошибки судей в игровых видах спорта, таких, как футбол, хоккей и т. д., даже повлиявшие на результат игры, НИКОГДА НЕ ПОДЛЕЖАТ ПЕРЕСМОТРУ. Судья может быть дисквалифицирован и отстранен от судейства, если выяснится, что он был ангажирован одной из команд и судейство было предвзятым по этой причине. Но сам РЕЗУЛЬТАТ МАТЧА останется без изменений. Переигровка из-за ошибок судьи - редчайшее явление.
Так что можно сделать вывод, что в любом спорте с элементами игры - судья является участником игры.
Конечно, бывают и казусы, вроде вот такого - Судья забил гол
Или такого - Пьяный судья ФИФА
Но все это только анекдоты, подтверждающие правило. Судья - участник игры.

шутник. если такое возможно - победителем всегда будет судья