Насколько безопасно использовать сторонние DNS?

Нет, всего лишь информация о том, на какие сайты ты заходишь. И это единственное, что можно получить с сервера DNS.

Любой сервер DNS в интернете является публичным. А Google (наиболее популярны их DNS) и так знает, какие сайты ты посещаешь - не через DNS, так через Google Analytics.

Те, кто пишут подобные предупреждения, боятся, что сторонние DNS уменьшат их доход от продажи информации о посещении тобой сайтов.

Сторонние DNS сервера могут быть использованы для перенаправления трафика на свои узлы, вместо конечных, в т. ч. и пропуска трафика через свои сервера на конечные.
Это может быть достаточно опасным. Естественно вопрос доверия не из последних.

"О каких запросах идет речь?" Видимо о запросах определения IP адреса по имени. Т. е. везде где используется resolve "имя-сервера"->IP адрес.
И это не обязательно http протокол чтобы подсунуть Вам н-р фейковые страницы (где Вы можете ввести свой пароль, думая, что сайт и страница настоящие). Вполне можно получить проблемы (в т. ч. и с кражей пароля от почты) при использовании POP3/SMTP протокола н-р, того или иного мессенджера особенно при определенной халатности разработчиков и т. д.

К слову - так поступают некоторые вирусы подменяя настройки DNS в сетевом подключении на свои. На практике у знакомых отлавивал такой вирус-майнер. В ряде случаев н-р появлялись дополнительные нежелательные элементы на вэб-страницах (и это точно было именно из-за подмены DNS в том случае).

Через кэш и куки можно и пароли узнать, короче небезопасно это я им не доверяю.