Почему нельзя одновременно использовать новую и старую батарейки (напр., в пульте для телевизора), если старая работает?

Всё очень просто.
У батареек (аккумуляторов) находящихся на разной стадии разрядки различные напряжения и отдаваемые токи.
Поэтому более свежая батарейка будет "заряжать" более разряженную. Что приводит к паразитным токам между самими батарейками и возможному перегреву с самыми непредсказуемыми последствиями. Вот этих возможных последствий и боится производитель и пишет всякие устрашающие надписи чтобы в суды не затаскали. Вспомните надпись на кофе - "осторожно горячее". Как будто холодный кофе это норма.
В случае пульта - возможен очень быстрый разряд свежей батарейки, в худшем варианте - вплоть до взрыва перегретой батарейки и пожара.
Почему пишу "Возможен" - а потому что не проверял и точной информации на это нет, да и особо рисковать не хочется.
У меня два батарейки в пульте для телевизора работают по несколько лет, экономия аховая получается .
И потом:
А как вы собираетесь определить в каком состоянии у вас батарейка? У вас есть тестер нужной точности и с нужными пределами измерения?

Если менять то две, а если оставить старую и добавить новую -нет смысла...

чушь, можно запросто, просто когда старая сядет, она ограничит общий ток и придеться ее менять

Получаются сильные перепады напряжения и потенциалов, из за этого возможна поломка пульта.

Hoodoo глупость не пишите, там же не 100-и вольт, ничего пульту не будет если же батарейка не потекет, а закон ома еще не отменял, если в пульте 2 батарейки, то как правило они соеденены последовательно, при последовательном соеденение, ток неизменяется, а вот напряжение увеличивается,

пример если у вас дистанционка жрет 50ма 3вольта, емкость целой батарейки 100ма 1,5 вольта, а дохлой 50ма 1волльт, то при последовательном соеденение получим ток 50ма (то есть ток самой разряженой батарейки) , а вот напряжение 2,5 -то тут просто нехватает 0,5в для нормальной работы пульта, то есть он будет работать но глючно (недалеко от телевизора, долго жмем одну и туже кнопку чтобы переключить канал)

А кто вам сказал, что нельзя их использовать? Замените только ту батарейку, которая у вас не работает и все.

ну давайте представим так- с двух стаканов пьем одновременно, из двойной трубочки, только в одном из них изначально было на 10 грамм больше, чем в другом стакане, когда меньший опустел, в другом еще есть 10 грамм (батарейка работает)