уважаемые математики, помогите..спасите несчастную лингвистку..))

Ну, всё зависит от того, насколько большой ребёнок…

Формула, которая вычисляет сумму квадратов, будет многочленом третьей степени, то есть будет выглядеть как

M(n) = an³ + bn² + cn + d, где a, b, c, и d – какие-то числа.

При этом будет выполняться соотношение:

M(n) = M(n–1) + n²

В развёрнутом виде это будет выглядеть так:
an³ + bn² + cn + d = a(n–1)³ + b(n–1)² + c(n–1) + d + n²

Нужно так подобрать числа a, b, c, и d, чтобы это выражение выполнялось.

Раскрываем скобки, приводим подобные члены:
an³ + bn² + cn + d = a(n³ –3n² + 3n – 1) + b(n² –2n + 1) + c(n–1) + d + n²
an³ + bn² + cn + d = an³ –3an² + 3an – a + bn² –2bn + b + cn – c + d + n²
–3an² + 3an – a –2bn + b – c + n² = 0
n² (–3a + 1) + n (3a – 2b) + (–a + b – c) = 0

Так как последнее выражение должо быть равно 0 при любых значениях n, то все выражния в скобках равны нулю:

–3a + 1 = 0
3a – 2b = 0
–a + b – c = 0
Из первого выражения получаем a = 1/3, из второго b = 1/2, из третьего c = 1/6.
Так как должно быть M(0) = 0, то d=0.

Окончательно получаем

M(n) = n³/3 + n²/2 + n/6 = n(2n² + 3n + 1)/6 = n(n+1)(2n+1)/6

M(n) = n(n+1)(2n+1)/6
M(10) = 10·11·21/6 = 385

P.S. Если интересно, почему многочлен должен получиться именно третьей степени, спросите у меня

если формулу не знаете - до 10- быстрее сложить, чем выводить формулу.
вообще, очевидно, что сумма квадратов от 1 до n^2 - многочлен третей степени от n.

можно просто найти тыком. для строгости - доказать мат индукцией.

Sum [i=1..n] i^2 = n*(n+1)*(2*n+1)/6;

для n=10, это 10*11*21/6=5*11*7=35*11=385