Можно ли по такой схеме собрать в домашних условиях лазер ?

Это не схема, а картинка из пейнта (извините) . На ней действительно нарисованы самые основные компоненты, которые необходимы лазеру определенного типа. Но любой даже из этих компонентов должен иметь строго определенные параметры и характеристики. И кроме этого есть еще ряд необходимых элементов. И все это, как в любом серьезном приборе, должно быть сначала рассчитано, затем спроектировано, изготовлено и собрано с требуемыми точностями (!!!). А затем съюстировано.
Всего этого в домашних условиях вы сделать, к сожалению, не сможете. Вы даже не найдете требуемых материалов, не говоря уж об остальном.

К примеру источник света - это не просто какой-то источник, а лампа накачки (и это не просто название) . А рабочее тело - это не "окрашенная жидкость" - это среда, в которой накачка должна создавать инверсную населенность (а для этого нужно соблюсти целый ряд условий) .

Купите лучше лазерную указку.

По такой - нет.
Зеркала должны быть идеально плоскими и параллельными, а здесь они параболические, ведь для более-менее мощного импульса излучения свет должен многократно пройти через рабочую среду (окрашенную жидкость) , при такой форме зеркал практически все излучение после пары-тройки отражений разойдется в стороны.. .
А вообще лазеры на таком принципе существуют и вполне работоспособны!
http://laserphysics.narod.ru/

Нужны лампы накачки, переводящие атомы в возбужденное состояние...

Нет!