триллиард перед чем и после чего следует?

Есть две системы наименования больших чисел - короткая шкала и длинная шкала.

В короткой названия образуются прибавлением суффикса -иллион.
Увеличиваются числа в тысячу раз:
миллион (милле - тысяча) - 1 000 000 (тысяча тысяч)
биллион (би - два) - 1 000 000 000 (тысяча в квадрате тысяч)
триллион (три - три) - 1 000 000 000 000 (тысяча в кубе тысяч)
квадриллион (квадро - четыре) - 1 000 000 000 000 000 (тысяча в четвёртой степени тысяч)
и т. д.
Триллиарда там нет.

В длинной названия образуются также прибавлением суффикса -иллион, но увелличиваются числа в миллион раз:
миллион - 1 000 000
биллион - 1 000 000 000 000 (миллион в квадрате)
триллион - 1 000 000 000 000 000 000 (миллион в кубе)
квадриллион - 1 000 000 000 000 000 000 000 000 (миллион в четвёртой степени)
и т. д.
А промежуточные числа образуются с суффиксом -иллиард:
миллиард - 1 000 000 000 (тысяча миллионов)
биллиард - 1 000 000 000 000 000 (тысяча биллионов)
триллиард - 1 000 000 000 000 000 000 000 (тысяча триллионов)
и т. д.

Т. е. триллиард (10^21) идёт после триллиона (10^18) и перед квадриллионом (10^24).

Никогда не слышал такого названия - триллиард. И, кстати, биллиард тоже.
На самом деле действительно есть 2 системы - русская и западная.
В русской числа названы так: тысяча, миллион, миллиард, триллион, квадриллион, квинтиллион и так далее.
В западной вместо миллиарда единица называется биллион.
Фактически миллиард - это исключение.

после триллиона, перед квадратиллионом

Триллиард - это по-дугому квадриллион. Он идёт после триллиона и стоит перед квинтиллионом.