Пусть n- натуральное число кратное 3, но не кратное 9, если к нему добавить ...

"Произведение всех цифр" - имеется в виду произведение всех цифр САМОГО ЧИСЛА, а вовсе не всех ЧИСЕЛ до этого числа (факториал) . Поэтому ответ "три" - неверный.
Значицца, что имеем: а имеем признаки делимости на 3 и на 9: сумма цифр числа должна делиться соответственно на 3 и на 9. А это значит, что произведение цифр числа должно делиться на 6, так что среди цифр по крайней мере одна - чётная, только одна должна делиться на 3, и отсутствует 9 (иначе произведение будет делиться на 9, а это нам не подходит) . Очевидно также, что среди цифр исходного числа отсутствует 0 - иначе нечего было бы прибавлять.
Теперь начинаем думать.
Для начала, нам не подходит ни одно двузначное число. Для чисел 3х, 6х или 9х, чтобы они делились на 3, вторая цифра такого числа тоже должна делиться на 3, а это недопустимо. Для чисел вида 2х, 4х и 8х ни найти ни одного делящегося на 3 с последней цифрой, также делящейся на 3 (чтоб произведение цифр делилось на 6). И прямая проверка показывает, что ни 75, ни 78 тоже не подходят (72 не подходит, потому что на 9 делится) . Так что начинать надо минимум с трёх знаков.
Любое трехзначное число вида АВС равно 100А + 10 В + С, причём ни одна из цифр нулю тут не равна. При этом А+В+С делится на 3 (но не делится на 9) и АВС делится на 6. Начнём с А=1 (т. е. первая сотня) .
Из двух оставшихся цифр ни одна не должна быть равна 0, ни одна не должна быть равна 9, только одна должна делиться на 3 и по крайней мере одна - чётная. Т. е. нас устраивают пары 23, 32, 56, 65, 68 и т. д. Ну и простой перебор даёт первую из таких пар - 68. Т. е. всё число - 168. Поскольку первая сотня - это наименьшие трёзхначные числа, и поскольку двузначные нас не устраивают как класс, то 168 и будет ответом.

Это число 3. Если добавить к нему произведение всех цифр 1*2*3=6, то сумма будет 3 + 6 = 9

я не поленился перебрать и дошел до числа 168. - получается 216