Как мобильник отсчитывает время, когда выключен?

в телефонах действительно ставится маленькая круглая аккумуляторная батарейка похожая на часовую, для хранения некоторых данных и настроек пользователя, при временном отсутствии аккумулятора, но время иногда у некоторых моделей при этом сбрсывается) и если телефон выключен, его процессор все равно частично работает
( и внутренние часы тоже) - телефон находится в режиме ожидания нажатия кнопки включения

Микросхема RTC (часы, календарь) продолжает работать при выключенном телефоне.

А это зависит от телефона.
Где действительно стоит маленький аккумулятор (для хранения данных и времени на время вынимания основной батарейки) , но далеко не во всех моделях, иногда ам для этой цели ставят ионистор, а иногда и вообще ничего не стваят. Раз у вас время сбивается - значит у вас этого нет... .

Что касается синхронизации с сетевым временем - это отдеьная функция, и тоже далеко не во всех моделях есть, да и синхронизация обычно через интернет.

А потребляют часы реального времени (микросхема RTC - Real Time Clock) 10-30 микроампер.... Так что затраты на часы не слишком превышают собственный саморазряд аккумуляора.

Телефон получает точное время от сети оператора - эта функция заложена в нём изначально! Если его отключить от аккумулятора, это не означает, что он считает время " в уме "! Подключаешь телефон к аккумулятору, телефон находит сеть оператора и время передаётся автоматически!

Ну, всё правильно. Телефон же не отключается при этом от внутреннего питания от аккумулятора. А если аккумулятор изъять, то никакого времени телефон показывать не станет.

батарейка как в часах

Имеется отдельный генератор, содержащий кварцевый резонатор частотой 32768Гц, этот генератор выполнен не в виде отдельной микросхемы RTC, а является частью многофункционального контроллера телефона. Так как тактовая частота этого генератора низкая, то потребление этого узла телефона низкое (микроамперы) и он может питаться от отдельной батарейки либо от конденсатора в моменты снятия основного аккума.

rumpel правильно говорит, в телефоне стоит аккумулятор типа "батарейка" её хватает для хода внутренних часов