Бывают ли реле с двумя точками покоя?

Это реле с двумя стабильными состояниями. Они меняют состояние по управляющему импульсу, поэтому иногда называются импульсными реле. Они меняют своё состояние на один шаг после каждого управляющего импульса, поэтому могут называться "шаговыми реле".

У Шнейдер Электрик это "импульсные реле" серия iTL.
У АББ это серия E250 (там есть варианты не на два состояния, а больше).
У Леграна это "импульсные реле" (например, 212408).
У Finder это "шаговые реле" многих серий (у них тоже есть варианты не на два состояния, а более).

Да, бывают.

Да, бывают бистабильные двухобмоточные реле.

Подали импульс напряжения на одну обмотку - реле переключилось в положение 1 и осталось в нём после обесточнивания обмотки. Чтобы переключить реле в полодение 2, нужно подать импульс напряжения на вторую обмотку.

Есть поляризованные реле (как уже писали, серии РПС), управляются импульсами: импульс одной полярности включает, импульс другой полярности - выключает. Для розетки это мало подходит: нужно формирование импульсов, а значит - постоянно работающий источник постоянного напряжения.
Есть еще вариант с пускателем или реле с обмоткой на 220 В, когда через один из контактов реле запитывается обмотка, т. е. нажатием одной кнопки подать питание на обмотку реле, после срабатывания реле само себя запитывает и удерживает во включенном состоянии, нажатием другой кнопки отключить цепь питания обмотки. Недостаток - постоянно запитанная обмотка, выключение реле при пропадании напряжения в сети.

Это поляризованные реле.

У ABB есть импульсные реле в стандартном корпусе на DIN-рейку. Бывают электромеханические, (ABB E 251-230 Реле блокировочное электромеханическое (250V 1xН. О. 16А)), у которых при подаче импульса перекидываются контакты, а есть электронные в которых электроника управляет обычным реле. Преимущество вторых в том что на управляющей кнопке может быть низкое напряжение, у электромеханических управление идет так же как и в сети - 220 В.

да бывают.

триггер называется.

да. это рпс.

Это называется электромагнитный дистанционный переключатель, есть такие.

Стоит заглянуть в старый АТС