Должен ли слесарь АСУ ТП заниматься шинами заземления?

Прописано в должностной инструкции - должен. Прописано в договоре, что обязан выполнять ВСЕ работы, а не только по специальности - должен (раз подписал такой договор). Уверен, что после отказа не выгонят, или что сможет убедить "начальника" , что за эту работу ему не платят, или что сможет спокойно и быстро перейти в другое место - не должен. Если предыдущая трудовая история работника свидетельствует о его дурацких поступках, при безделье (типа "а что будет, если..." такое бывает, лично участвовал) - должен.
Если "нагибатель" на левую работу пытается научить слесаря АСУ ТП, как это делать правильно, что бы слесарь, со временем, стал круче, возможно- выше, - должен. Если ему за эти работы заплатят, и сумму озвучили, и она приемлема - должен.

Нет. Этим должен заниматься владелец прибора (аппарата, компьютера и т. д.)

Не... Только чаИ гонять.
А ты думал чего делать? Должностные обязанности свои ты хотя бы ЧИТАЛ?

если заземляется оборудование его службы- то да.

А что, "белоперчаточникам" западло взять железку в руки?
"Интеллект" испаряется?

Может и не должен, но делать надо

Откройте свою ДИ и прочитайте её.
Если там есть "электрика" или "прочее", то должен.

а обычно чем занимается слесарь АСУ ТП?

Это же Россия, если электрику нечем заняться, он разнорабочий. Не везде конечно, но есть такие места) Лучше не лезть в работу по которой нет квалификации, крайним останешься ты и твой начальник)