Какое значение имеет род тока, переменный или постоянный, для питания катушки соленоидного клапана?

Зависит от сердечника.. На постоянном токе - сердечник сплошной металл, на переменном - из пластин.
Скорее всего для 12 вольт - постоянный. На переменном - сердечник будет разогреваться.

ей все равно какой ток, но постоянный отлипает чуть дольше

Нужен только постоянный ток

"Реле постоянного тока делятся на нейтральные и поляризованные. Отличие между ними состоит в том, что поляризованные КУ постоянного тока чувствительны к полярности подаваемого напряжения. Якорь коммутационного устройства меняет направление движения в зависимости от полюсов питания. Нейтральные электромагнитные реле постоянного тока не зависят от полярности напряжения.
найдено на news.rambler.ru
Подразделяются на поляризованные и нейтральные. Отличаются они тем, что поляризованные срабатывают в однополярной сети. Нейтральные срабатывают независимо от направления полярности. Реле переменного тока. Реле данного вида используются в сети переменного тока от 220В и работают немного иначе от постоянного. В сердечнике соленоида есть небольшая прорезь, разделяющая его на две части, одна из которых экранирована."

В некоторых случаях уменьшают время отключения противотоком , при постоянном напряжении конечно

Разница есть какой ток: постоянный или переменный. В этом заключается и количество витков и конструкция втягивающего сердечника. Соленоид рассчитанный на постоянный ток, от переменного будет хуже притягивать и больше нагреваться.

на какой рассчитан, то напряжение и надо подавать.

Из практики: соленоид для постоянного тока сильно дребезжит на переменном токе, перегревается, сгорает; соленоид для переменного тока на постоянном срабатывает хорошо, качественно, сильно греется, сгорает. Всё сильно зависит от конструкции магнитного сердечника.