Как работает кнопка переключения режимов в гирлянде, какой механизм переключения в плате?

смотря какая гирлянда. если напрямую от сети - симисторы/тиристоры, если от БП или батареек - транзисторы

Этот "механизм" спрятан внутри микросхемы, и вмешаться в него не получится никак. А кнопка может не работать по банальной причине - нет контакта. Может, она ржавая внутри. Может, отвалилась пайка. Может, даже треснула дорожка на плате - а такую неисправность даже под лупой не разглядишь. Возьми две швейные иглы, проткни ими защитную пленку на плате там, где две дорожки от кнопки ближе всего подходят к чипу, и перемкни эти иголки друг с другом. Если сработает - значит, проблема решаемая. Если нет - значит, поломка внутри чипа, и его следует выкинуть.

Для этого надо понимать цифровую технику. Хотя бы как работает элементарный триггер , и как из них сделать счётчик или регистр сдвига.
Кнопка работает как кнопка ! Она подключена ко входу "С" регистра. На графике в самом верху каждое её нажатие – это импульс. А регистр с каждым её нажатием будет последовательно переключать свои выходы Q0-Q7 , которые и будут включать тот или иной режим контроллера. Как досчитает до определённого числа , на которое рассчитан – начнёт сначала...
Всё это , обычно кроме выходных силовых ключей (транзисторов , тиристоров , непосредственно включающих определённые группы ламп) содержится в одной специализированной микросхеме..

Процессор по программе, заранее записанной, переключает ключи гирлянды, на некоторых изделиях есть ручной выбор программы.....

Как ни удивительно, но там - чип...)))

Логикой регистра. Счётчик импульсов.

Там стоит РЕГИСТР СДВИГА+Счетчик и дешифратор-шифратор (примерно такая логика)
rTrig-генератор-счетчик-дешифратор-свитч

а что, ёлку вешать осенью?