Можно ли ездить на спортивном мотоцикле по городу и какие документы при себе нужно иметь?

ПТС

Страховка

Права с категорией А

Шлем

На спортах ещё желательно наличие мозгов, черепахи, защиты, перчаток
Ах да не заметил с 16 только на мопедах кататься, жди 18

нет

Если 16, то ограничение по кубам до 125 кубиков, категория А1, или до 50 - категория М
По дорогам ограничений нет если есть ПТС и номера, для кроссовых ограничения когда они не как транспортное средство оформлены, а как спортивный снаряд, т. е. без номеров.
Ездить по городу можно, если есть номера и все нужные документы (СТС, ОСАГО, права), если нет, то только по стадиону. Спорт тоже может быть спортивным снарядом как кроссовый, но тогда и по улицам на нём нельзя, только по треку.

для любых дорог (возможно исключения территория садового товарищества или что-то подобное) на все сейчас ВУ нужно и ловят успешно без ВУ (штраф если поймают 5-15000, скутер на штраф стоянку)
если на дороге не выезжать, например на том же питбайке, то не обязательно иметь ВУ
на данный момент в россии:
категория A -- c 18 лет все (учиться и сдавать и получать, на практике взять в мотошколу могут чуть раньше, но это незаконно)
категории A1 (до 125 куб и до 11 кВт) с 16 лет все (учиться и сдавать и получать, на практике взять в мотошколу могут чуть раньше)
категория M (до 50 кубиков) с 16 лет все (учиться и сдавать и получать, на практике взять в мотошколу могут чуть раньше, детали по другим категориям/подкатегориям (как и когда оптимально получать) можно посмотреть по ссылке: http://rulims.ru/kategorii-voditelskogo-udostovereniya/
учиться на M смысла нет, имеет смысл на A1, стоит практически столько же, так же с 16 лет, а категория более интересная
стоимость зависит от региона (10000-17000 для ориентира), учиться примерно 2 месяца, плюс-минус
регламент экзамена изменился с 1 сентября: http://rulims.ru/dejstvuyushchij-i-novyj-reglament-ehkzamenov-gibdd/
для мото новое упражнение, "скоростное маневрирование"

Вам нужны свидетельство о регистрации, водительское и страховой полис.

до 125 кубов, с 16 лет А1 права, с 18 сдавай на права категории А, там уже все какие xочешь