Категория (А) водительских прав позволяет управлять квадроциклом?

не знаю как сейчас, но раньше нужны были права тракториста (соответствующей категории) для снегоходов и квадроциклов и сдавали на них в гостехнадзоре

квадроциклы объёмом свыше 50 куб см относятся к категории «АI». В эту категорию входят самоходные внедорожные машины, для управления которыми надо иметь права тракториста-машиниста. Сдача экзамена производиться в Гостехнадзоре. Процедура сдачи не отличается от экзамена в ГИБДД.

зависит от того, каким ТС квадрик по документам проходит. если это внедорожное мотосредство, то и права нужны гостехнадзоровские, "тракторные" с соответствующей категорией.

Если квадроцикл имеет ПТС, где он записан как мото транспортное средство категории А, то можно.
Но обычно у квадриков совсем другие документы.

смотря какими квадрами, вроде до 50 кубов категория А автомобильных прав, а на серьезные нужны права тракториста - машиниста, получать в гостехнадзоре

квадрициклом

категория А1 по линии Ростехнадзора. ГИБДД к выдаче ВУ на квадроциклы отношения не имеет

То, что Вы описали в цитате - это квадрИцикл. Для квадрОцикла нужно удостоверение тракториста-машиниста, категории А1. подробнее на сайте Гостехнадзора - http://sgtn.mos.ru/about/category-tractor/

неее

нет, точнее можете узнать только здесьkvadro.pro

Квадроцикл (от лат. quadru- «четырёх-» и др. -греч. ϰύϰλος «круг») — транспортное средство с четырьмя колёсами. Хотя формально под определение квадроцикла попадают большинство автомобилей и любой другой транспорт с четырьмя колёсами, на постсоветском пространстве под квадроциклом чаще всего понимают четырёхколёсный мотовездеход, а в США — четырёхколесный велосипед. Основными мировыми производителями квадроциклов в российском понимании этого слова являются: BRP, Polaris, Yamaha, Kawasaki, Suzuki, Arctic Cat, Stels, CF Moto, Irbis. Квадроциклы делятся на трюковые и утилитарные. Утилитарные используются в качестве, непосредственно, мотовездехода. Трюковые или стантовые (от англ. stunt- «трюк») популярны в среде ATV (прыжки, быстрая езда). http://xn--66-vlc0be.xn--p1ai/

В зависимости от кол-во кубов квадроцикла, если больше 49.9, то тебе понадобятся права категории "А", ниже 49,9 "А1", так же идет ограничение массой квадроцикла.
Но, на квадроцикле запрещено ездить в городе.