Правда нельзя ездить на кроссовиках в городе, и почеиу?

Что такое "кроссовик" в вашем понимании? Если вы про кроссовый мотоцикл, который не омологирован для движения по дорогам общего пользования, то да это правда. На нём нет ни госномера, ни поворотников..., -это чисто спортивный снаряд. Потом кроссовая резина скользит на асфальте и легко можно разложить аппарат в повороте...

на мотопеде нельзя если более 50

на спортинвентаре запрещено передвигаться по дорогам общего пользования

Нельзя-они не предназначены для передвижения по дорогам общего пользования в силу особенностей своей конструкции. Он таможится, как "спортинвентарь", ПТС не выдается.

Из решения суда..:

"В соответствии с п. 2 постановления Правительства РФ от 12.08.1994 г. № 938 «О государственной регистрации автомототранспортных средств и других видом самоходной техники на территории Российской Федерации» регистрацию транспортных средств на территории Российской Федерации осуществляют подразделения Государственной инспекции безопасности дорожного движения МВД РФ и органы государственного надзора за техническим состоянием самоходных машин и других видов техники в Российской Федерации (органы гостехнадзора).

Согласно п. 1 Правил регистрации автомототранспортных средств и прицепов к ним в ГИБДД МВД РФ, утвержденных приказом МВД РФ от 24.11.2008 г. № 1001, государственная регистрация автомототранспортных средств, не предназначенных для движения по автомобильным дорогам общего пользования, государственной инспекцией безопасности дорожного движения МВД РФ не производится.

В силу п. 1.4 Правил государственной регистрации тракторов, самоходных дорожно-строительных и иных машин и прицепов к ним органами гостехнадзора, утвержденных Минсельхозпродом РФ 16.01.1995 г., государственная регистрация гоночных мотоциклов в органах гостехнадзора не производится.

Как следует из руководства по эксплуатации на мотоцикл № данный мотоцикл относится к разряду кроссовых и не предназначен для дорог общего пользования. На нем не установлены устройства звуковой и световой сигнализации.

Согласно заключения эксперта № от ДД. ММ. ГГГГ, составленного независимым экспертным бюро Калининградского областного отделения общественной организации «Всероссийское общество автомобилистов», мотоцикл № квалифицируется как «кроссовый» (спортивный инвентарь) и предназначен для движения только для применения вне дорожного полотна, а равно вне дорог общего пользования. Он может перемещаться по дорогам общего пользования на специально оборудованных прицепах или в автомобилях.

С учетом изложенных обстоятельств суд приходит к выводу, что поскольку мотоцикл №, является спортивным и не предназначенным для движения по автомобильным дорогам общего пользования, он не подлежит государственной регистрации ни в ГИБДД МВД РФ, ни в органах гостехнадзора, соответственно он не может расцениваться как транспортное средство, определяемое для целей главы 12 Кодекса Российской Федерации об административных правонарушениях."

Если кроссовый это для мотокросса, то нельзя, это спортинвентарь.
А если это типа кроссовый, но на нём есть фары, сигналы поворота и номерной знак, то можно. Правда при наличии соответствующих прав и страховки.