Каким образом гужевой транспорт может двигаться по городу?

Точно так же как и тихоходные транспортные средства.
Тракторы и самоходная спецтехника на их шасси
Крайне правый ряд, обязательно телега с поворотниками и стопарями а так же со знаком тихоход.
У погонщика ямщика сигнальная жилетка 2 сигнальных красных флага и один фонарь.

Перебирая копытами

управляют извозчики... которые сдают на права на общих основаниях и получают лицензию..

Если нет знака с перечёркнутой лошадью, то она спокойно может двигаться. А водитель автомобиля обязан уступить дорогу менее управляемому транспорту.
Сигналить, рискуя испугать лошадь, нельзя, можно остаться без прав.
А: собьёшь лошадь, так тебе тётки из защиты животных жить не дадут.

Гугл выдаёт какой-то законопроект от 2015 года насчёт водительского удостоверения для гужевых повозок. Но, по-моему, никакие права не нужны.
В любом случае, особых ограничений для телеги с лошадью нет. Двигаться по городу можно согласно ПДД.
На перевозку пассажиров (туристы, свадьбы, и т. п.), скорее всего, должна быть лицензия. Но это другая тема, не особо касающаяся правил дорожного движения, а больше относящаяся к предпринимательству.

Сбили кого? Лошадь. Или карету. Эта карета весит как автомобиль и зон деформации не имеет. Какаянить рейка или водило лошади войдёт в салон и вылезет через заднее стекло с чьейто башкой или с парой. Да и лошадь тоже не человек. И не два. Если правила не котируются думать надо головой