Собираюсь в отпуск с ребенком в Абхазию, требуется ли разрешение на выезд от папы?

Нет, не требуется и никому оно не нужно, кроме нотариусов, которые на этом зарабатывают деньги. ФЗ РФ "О порядке въезда в РФ и выезда из РФ" статья 20:ребенок имеет право выезжать в сопровождении хотя бы одного из родителей. Нет никакой разницы в разводе вы или нет, все равно не нужно.

Российско - Абхазская граница работает круглосуточно. Для граждан России и СНГ действует безвизовый режим.
Граждане РФ могут выезжать из России в Абхазию по внутреннему паспорту гражданина РФ или по заграничному паспорту.
Граждане стран СНГ, за исключением Украины и Таджикистана, могут выезжать из России в Абхазию по внутреннему паспорту или заграничному паспорту.
При выезде из России в Абхазию дети до 14 лет должны обязательно иметь свидетельство о рождении с вкладышем или штампом о российском гражданстве или загранпаспорт. При этом на детей в возрасте от 6 лет в загранпаспортах должны быть фотокарточки, скреплённые гербовыми печатями органов МИД или МВД Российской Федерации.
При выезде из России в Абхазию дети от 14 до 18 лет должны обязательно иметь общегражданский внутренний паспорт или загранпаспорт.
На многих сайтах указано, что для детей до 18 лет, выезжающих из России в Абхазию хотя бы с одним из родителей, доверенность от второго родителя не требуется.
Однако в нашей практике были прецеденты, когда без данного разрешения отдыхающих не пропускали!! !
Мы советуем Вам не полагаться на волю случая и обязательно брать это разрешение с собой. Или же это должна быть справка о разводе или смерти одного из родителей (или заверенные копии этих документов) .
Дети до 18 лет, выезжающие из РФ без сопровождения обоих родителей (усыновителей, опекунов или попечителей) , должны иметь кроме паспорта нотариально оформленное согласие названных лиц на их выезд из РФ с указанием срока выезда и государства, которое они намерены посетить (ст. 20 гл. III Федерального Закона №114-ФЗ от 15.08.96 г.) . Такого согласия не требуется при фактическом отсутствии второго родителя, которое подтверждено документами: материнской книжкой (книжка матери-одиночки) , свидетельством о смерти, документом о лишении родительских прав, заявлением второго родителя об отказе от ребенка, документом из суда, свидетельствующим, что местонахождение второго родителя определить невозможно.

Нет, не требуется.

Да, на нашей границе пограничники требуют, а абхазам не нужно..

да, требуется

Ну если вы в разводе с мужем, официально-да, на деле- редко спрашивают если честно подобную справку, разрешение в письменной форме и т. д Так как мы ездили в Египет, у нас такая же ситуация, ни какой справки не спрашивали, особенной если вы едите по договору, с какой либо турфирмой.
Удачи съездить!