Подскажите... у моих родственников такая ситуация...

Для того, чтобы ВЫЕХАТЬ за пределы России без сопровождения родителей ребенку достаточно нотариально заверенного согласия ОДНОГО из родителей, а если ребенок едет за рубеж с одним из родителей, то такое согласие вообще не нужно.
Об этом чётко говорится и в законе 114 "О въезде и выезде" и в разъяснениях погранслужбы ФСБ РФ:

Так что в любую безвизовую страну можете спокойно ехать.
А вот для получения визы в некоторые страны действительно может потребоваться согласие ОБОИХ родителей. В этом случае пишется соответствующее заявление в Ваше местное УВД о розыске пропавшего родителя и через некоторое время Вам выдают справочку, которая говорит о том, что местонахождение родителя установить не удалось. Такая справка полностью заменяет согласие отсутствующего родителя.

Через суд признать родителей без вести пропавшими, затем оформить опеку или удочерение.

Обычно при такой ситуации оформляются документы на опекунство. Что ваши родственники делали все 10 лет? Ведь в жизни полно ситуаций помимо поездок за рубеж когда необходимо разрешение опекуна. Может вы не в курсе всей ситуации? В любом случае нужно обратиться к юристу и оформить опекунство.

разрешение опекуна в данном случае

Нужно через суд признавать мать пропавшей без вести и оформлять отца-одиночку. После этого ребёнок может спокойно пересекать границу РФ с отцом или с нотариальным согласием без него!!!

Два варианта, чтоб вывезти ребенка за границу-это разрешение обоих родителей (оформляется у нотариуса, в присутствии обоих родителей) , или второй -лишить родителя прав, что проблематично и долго и безпрепятственно вывозить ребенка. Но докуент у ребенка на границе должен быть.

Ст. 20 «О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию» . «Несовершеннолетний гражданин Российской Федерации, как правило, выезжает из Российской Федерации совместно хотя бы с одним из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей. В случае, если несовершеннолетний гражданин Российской Федерации выезжает из Российской Федерации без сопровождения, он должен иметь при себе кроме паспорта нотариально оформленное согласие названных лиц на выезд несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации с указанием срока выезда и государства (государств) , которое (которые) он намерен посетить. »
То есть, согласие требуется только в том случае, если ребенок путешествует без родителей. Если с ребенком едет один из родителей, то главное подтвердить родство.