так нужно или нет разрешение на вывоз ребёнка на отдых в Абхазию от отца.

Если отец не заявлял запрета то никакого согласия не нужно.

На самом деле, всё не так просто, как думают все ответившие выше.
1. Для ВЫЕЗДА с территории России с одним из родителей действительно никакого согласия второго родителя не требуется (Статья 20 Федерального Закона №114).
2. А вот при ВЪЕЗДЕ в другое государство законы России уже не работают, а Посольство Республики Абхазия считает, что такое нотариально заверенное согласие НЕОБХОДИМО (цитата) :
Документы, необходимые для детей
При выезде из России в Абхазию дети до 14 лет должны обязательно иметь свидетельство о рождении с вкладышем или штампом о российском гражданстве или загранпаспорт. (При этом на детей в возрасте от 6 лет в загранпаспортах должны быть фотокарточки, скреплённые гербовыми печатями органов МИД или МВД Российской Федерации) .
При выезде из России в Абхазию дети от 14 до 18 лет должны обязательно иметь общегражданский внутренний паспорт или загранпаспорт.
Дети до 18 лет, выезжающие из РФ без сопровождения обоих родителей (усыновителей, опекунов или попечителей) , должны иметь кроме паспорта нотариально оформленное согласие названных лиц на их выезд из РФ с указанием срока выезда и государства, которое они намерены посетить (ст. 20 гл. III Федерального Закона №114-ФЗ от 15.08.96 г.) . Такого согласия не требуется при фактическом отсутствии второго родителя, которое подтверждено документами: материнской книжкой (книжка матери-одиночки) , свидетельством о смерти, документом о лишении родительских прав, заявлением второго родителя об отказе от ребенка, документом из суда, свидетельствующим, что местонахождение второго родителя определить невозможно.

Если ребенок выезжает за границу совместно хотя бы с одним из родителей, то нотариально заверенное согласие второго родителя не требуется.

при пересечении границы родителя с ребенком, обычно требуется документально оформленное разрешение второго родителя!

Нет.
Хотя надо было-бы: в эту жопу только садистка может своего ребёнка увезти. Нормальные люди в Абхазию не ездят, а уж детей тем более не пускают.