Помогите доказать, пожалуйста.

Лемма 1:
Если f(a)=0, то существует такое эпсилон > 0, что для всех x из интервала (a;a+эпсилон) f'(x)-f(x) и f(x) имеют одинаковый знак ( > 0, < 0 или = 0)
Доказательство:
если на интервале f(x) = 0, то на этом интервале f'(x) = 0 и f'(x) - f (x) = 0
если на интервале f(x) не равно нулю, то существует выражение
f'(x) / f(x) - 1 = (ln(f(x)))' - 1
вблизи точки a ln(f(x)) cтремится к -бесконечности, следовательно (ln(f(x)))' cтремится к +бесконечности, следовательно lim (ln(f(x)))'-1 = +бесконечности
отсюда следует, что найдётся такой интервал, на котором f'(x) / f(x) - 1 > 0, то есть ( f'(x) - f(x) ) / f(x) > 0, что и означает одинаковый знак у f'(x) - f(x) и f(x)

Для доказательства основного утверждения рассмотрим два случая отдельно:
I.
В случае, если для точки a есть интервал (a;a+эпсилон) , где f(x)=0, можно выбрать в качестве с любую точку этого интервала
II.
Если для точки a есть интервал (a;a+эпсилон) , где f(x) > 0 или f(x) < 0, это означает, что функция f(x) немонотонна на [a;b], cледовательно, имеет локальные экстремумы, в которых f'(x)=0. Пусть ближайший к точке a такой экстремум -- точка d, тогда f'(d) = 0. На промежутке (a;d) производная не равна нулю, следовательно она знакопостоянна и поэтом f(x) на этом промежутке имеет такой же знак, как f(d). Следовательно, на интервале (a;a+эпсилон) знак f'(x) - f(x) совпадает со знаком f(d). В точке d знак f'(x) - f(x) = - f(d) противоположен знаку f(d). Значит где-то между интервалом из леммы 1 и точкой d должна быть точка c, такая в которой f'(c) - f(c) = 0