Здравствуйте,помогите решить пожалуйста задачи по диффурам

4) Чтобы понизить порядок, сделаем замену y = x*z => y' = z + x*z', y'' = 2z' + x*z''

ДУ примет вид:
(x^2+1)*(2z'+x*z'') + x*(z + x*z') - x*z + 1 = 0
=> (x^2 + 1)*(2z' + x*z'') + x^2*z' + 1 = 0

Теперь можем понизить порядок заменой z' = f
=> (x^2 + 1)*(x*f' + 2f) + x^2*f + 1 = 0
(x^2+1)*x*f' + (3x^2+2)f +1 = 0 - это линейное неоднородное ДУ, можно решить методом Бернулли:
f = u*v =>
(x^2+1)*x*(u'*v + u*v') + (3x^2+2)*u*v + 1 = 0
u*((3x^2+2)*v + (x^2+1)*x*v') + (x^2+1)*x*u'*v + 1 = 0

Функцию v выберем из условия:
(3x^2+2)*v + (x^2+1)*x*v' = 0
=> dv/v = (-(3x^2+2)/[(x^2+1)*x])dx
-(3x^2+2)/[(x^2+1)*x] = -x/(x^2+1) - 2/x
=> ln|v| = -(1/2)*ln(x^2+1) - 2*ln|x| - первообразная.
=> v = (x^2+1)^(-1/2)*x^(-2)

На функцию u остается ДУ:
(x^2+1)^(1/2)*u'/x + 1 = 0
=> u' = -x/(x^2+1)^(1/2)
du = -(1/2)d(x^2+1)/(x^2+1)^(1/2)
=> u = -(x^2+1)^(1/2) + С1
f = u*v = [C1*(x^2+1)^(-1/2)*x^(-2)] - x^(-2)

z' = f
Для нахождения интеграла от dx/((x^2+1)^(1/2)*x^2) сделаем замену x = tgw => 1 + tg^2(w) = 1/cos^2(w)
=> dx = dw/cos^2(w)
=> dw/(cos(w)*tg^2(w))
=> d(sin(w))/sin^2(w)
Первообразная равна: -1/sin(w) = -(x^2+1)^(1/2)/x

Таким образом:
z = [-C1*(x^2+1)^(1/2)/x] + (1/x) + C2
y = x*z => y = -C1*(x^2+1)^(1/2) + 1 + C2*x - общее решение,
где C1, C2 - константы.

(x^2+1)*y''+xy'-y+1=0