помогите доказать свойства функии Эйлера

1.р - простое, числа 1, 2, ..р −1 взаимно просты с р,
φ(р) =р−1.

2. Среди чисел 1, 2, ..p^k не взаимно просты с р^k то, которые не взаимно просты с р, т. е. числа вида m•p, где m ≤ р^(k−1),
т. к. p^(k−1)•p =p^k. Всего таких чисел р^(k−1). Взаимно простые с p^k - все остальные.
φ(p^k)=p^k−p^(k−1).

3. Запишем числа от 1 до m•n в таблицу
1, 2, 3, ..n
n+1, n+2, ..2n
...
(m−1)n+1, (m−1)n+2, ..mn

Рассмотрим числа в каждом столбце. Число kn+x взаимно просто с n тогда и только тогда, когда х взаимно просто с n.
Действительно, если d - общий делитель n и х, то d - делитель kn+x, d - общий делитель kn+x и х.
В другую сторону, если d - общий делитель kn+x и n, то d - делитель x=(kn+x) −kn, d - общий делитель n и х.

Таким образом, в столбцах, номера которых взаимно просты с n стоят числа, взаимно простые с n. В остальных столбцах таких чисел нет.
Количество столбцов, состоящих из чисел, взаимно простых с n, равно φ(n).

Рассмотрим теперь столбец c номером х. Числа в нём имеют вид
n+x, 2n+x, …, (m−1)n+x
Так как m и n взаимно простые, то числа n+x, 2n+x, …, (m−1)n+x составляют полный класс вычетов по модулю m, т. е. дают полный набор остатков при делении на m.
Действительно, этих чисел ровно m. Если бы какие-то два остатка совпали, то
k1•m+x−( k2•m+x)=( k1 −k2)n делилось бы на m. Так как m и n взаимно простые, то тогда ( k1 −k2) делилось бы на m, что невозможно, т. к.
0 < k1 < −, 0 < k2 < −.

Тогда в каждом столбце среди чисел n+x, 2n+x, …, (m−1)n+x взаимно простых с m столько же, сколько и среди остатков, т. е. среди чисел 1, 2, …, m, равно φ(m).

Столбцов чисел, взаимно простых с n - φ(n), в каждом столбце чисел, взаимно проcтых ещё и с m - φ(m). Взаимно простых с обоими - φ(n) φ(m).

φ(mn)= φ(m) φ(n)

4. Рассмотрим произведение всех чисел ax_1, ax_2, …, ax_φ(m), где x_k – числа, взаимно простые с m, не превосходящие m. Так как а и x_k взаимно простые с m, то ax_1, ax_2, …, ax_φ(m) попарно не сравнимы по mod m и дают тот же набор остатков при делении на m, тогда
ax_1•ax_2•… • ax_φ(m)= x_1•x_2•… • x_φ(m)(mod m),

a^φ(m)(x_1•x_2•… • x_φ(m))=x_1•x_2•… • x_φ(m)(mod m).
Так как x_1•x_2•… • x_φ(m) взаимно просто с m, то

a^φ(m)=1(mod m)