По заданной диаграмме эйлера-венна описать множество, заданное штриховкой.

(A∪B∪C)\(A∩B)

Таблица 1

Название операцииОбозначениеИзображениеОпределениеСимволическая записьЛог. операции
Пересечение множествТе и только те элементы, которые принадлежат одновременно А и ВΛ
Объединение множествТе и только те элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множествА или ВV
Разность множествТе и только те элементы, которые не принадлежат В
Дополнение к множеству АТе и только те элементы, которые не принадлежат А (т. е. дополняют его до универсального U)
Симметрическая разностьТе и только те элементы, которые принадлежат одному из множеств: А либо В, но не являются общими элементами

а) б) в)

Рис. 1

Диаграммы Эйлера-Венна также могут использоваться для решения задач, связанных с пересеченными множествами.

При этом для двухпеременных пересеченных множеств используется формула:

|АÈВ| = |А| +|В| - |АÇВ|,

где |А| - число элементов множества А;

|В| - число элементов множества В;

|АÇВ| - число элементов, входящих одновременно и в множество А, и в множество В.

Для трехпеременных пересеченных множеств используется формула:

|АÈВÈС|= |А|+ |В|+ |С| - |АÇВ| - |АÇС| - |ВÇС| + |АÇВÇС|.

Пример 4. Из 100 студентов английский язык изучают 28, немецкий – 30, французский – 42, английский и немецкий – 8, английский и французский – 10, немецкий и французский – 5, немецкий, английский и французский – 3:

а) сколько студентов не изучают ни одного языка?

б) сколько студентов изучают один английский?

в) один французский?

г) один немецкий?

д) менее двух языков?

Решение. Обозначим: Е – множество всех студентов, А – множество студентов, изучающих английский язык, В – немецкий, С – французский.

Имеем:

|А| = 28, |В| = 30, |С| = 42, |АÇВ| = 8, |АÇС| = 10, |ВÇС| = 5, |АÇВÇС| = 3.

б) один английский изучают:

|А| - |АÇВ| - |АÇС| + |АÇВÇС| = 28 – 8 – 10 + 3 = 13.

в) один французский:

|С| - | ВÇС | - |АÇС| + |АÇВÇС| = 42 – 5 – 10 + 3= 30.

г) один немецкий: |В| - |ВÇС| - |АÇВ| + |АÇВÇС| = 30 – 5 – 8 + 3 = 20.

а) ни одного языка не изучают: , но

|АÈВÈС|= |А|+ |В|+ |С| - |АÇВ| - |ВÇС| - |АÇС| + |АÇВÇС|=

=100 – 8 – 10 – 5 + 3=80.

Тогда = 100 – 80 = 20.

д) |АÇВ| + |АÇС| + |ВÇС| - 2|АÇВÇС| = 8 + 10 + 5 - 2·3 = 23 – 6 = 17.

Решение данной задачи можно произвести с помощью диаграммы Эйлера-Венна.