Составить уравнение линии каждая точка М которой удовлетворяет заданным условиям:

пусть точка М (х; у) принадлежит искомой кривой

расстояние между точками А (1, 4) и М (х; у) найдем по формуле: |AB| = корень [(х1-х2)^2+(y1-y2)^2]. тогда
АМ = корень [(х - 1)^2 + (y - 4)^2]

расстояние от точки М до заданной прямой найдем по формуле расстояния между точкой (х0, у0) и прямой, заданной ур-ем
Ах + Ву + С = 0: l = |(Ax0+By0+C)/корень (А^2+B^2)|
Тогда расстояние между прямой х + 7 = 0 и точкой М (х; у) равно l = |(1*x+0*y+7)/корень (1^2+0^2)| =
= |(x+7)/1| = |x+7|

по условию 3*|x+7| =корень [(х - 1)^2 + (y - 4)^2];
9*(x+7)^2 =(х - 1)^2 + (y - 4)^2;
9x^2 + 126x + 441 = x^2 - 2x + 1 + (y - 4)^2;
9x^2 + 126x + 441 - x^2 + 2x - 1 - (y - 4)^2 = 0;
8x^2 + 128x + 440 - (y - 4)^2 = 0;
8(x^2 + 16x + 55) - (y - 4)^2 = 0;
8(x^2 + 2*8x + 8^2 - 8^2 + 55) - (y - 4)^2 = 0;
8(x^2 + 2*8x + 8^2) -8*( 8^2 - 55) - (y - 4)^2 = 0;
8(x + 8)^2 - 72 - (y - 4)^2 = 0;
8(x + 8)^2 - (y - 4)^2 = 72 | : 72
(x + 8)^2/9 - (y - 4)^2/72 = 1;
(x + 8)^2/3^2 - (y - 4)^2/(6*корень (2))= 1;
гипербола с центром в точке (-8; 4)

Предыдущий ответчик отлично справился с этой задачей. Верь ему и благодари.