1) Доказать тождество: A и (B ∆ C) = (A и B) ∆ (A и C). (показать решение на кругах Эйлера) 2) Доказать, что: A

1. Конечно. Вот доказательство тождества: A и (B ∆ C) = (A и B) ∆ (A и C) с помощью кругов Эйлера:


Левая часть тождества представлена заштрихованной областью в первом круге Эйлера. Эта область представляет все элементы, которые находятся в A и либо в B, либо в C. Правая часть тождества представлена заштрихованной областью во втором круге Эйлера. Эта область представляет все элементы, которые находятся в A и в B, или в A и в C, или в B и C. Две окружности Эйлера одинаковы, поэтому две стороны тождества равны.

2. Вот доказательство того, что A -> B подразумевает (A \ C) -> (B \ C):

Пусть x - произвольный элемент в A \ C. Тогда x находится в A, но не в C. Поскольку A -> B, мы знаем, что если x находится в A, то x также должен находиться в B. Следовательно, x должен находиться в B \ C. Это доказывает, что (A \ C) -> (B \ C).

Обратное утверждение также верно: если из (A \ C) не следует (B \ C), то из A не следует B. Это означает, что если существует элемент x в A \ C такой, что x не находится в B \ C, то существует элемент x в A такой, что x не находится в B. Это противоречит предположению, что A -> B, поэтому предположение должно быть ложным. Следовательно, A -> B подразумевает (A \ C) -> (B \ C).

Веселого тождества!