Найти сумму sinx+sin2x+sin3x+...+sinnx с помощью формул Эйлера

По формуле Эйлера е^ix = i*sinx + cosx, таким образом получаем, что
i*sinx + cosx = е^ix,
i*sin2x + cos2x = е^2ix,
i*sin3x + cos3x = е^3ix,
....
i*sinnx + cosnx = е^nix.

i*(sinx + sin2x + sin3x + .+sinnx) + (cosx + cos2x + cos3x + .+cosnx) =
е^ix + е^2ix + е^3ix + .+е^nix.

Используя формулу для суммы геометрической прогрессии, получаем, что

е^ix + е^2ix + е^3ix + .+е^nix = е^ix*(е^nix - 1)/(е^ix - 1)

Теперь снова используем формулу Эйлера и получаем, что:

е^ix*(е^nix - 1)/(е^ix - 1) = (i*sinx + cosx)*(i*sinnx + cosnx - 1)/(i*sinx + cosx -1) = (i*sinx + cosx)*(i*sinnx + cosnx - 1)*(-i*sinx + cosx -1)/(sin^2x + (cosx - 1)^2) = (1 - i*sinx - cosx)*(i*sinnx + cosnx -1)/(2 - 2cosx) = i*[sinx + sin(nx) - sin(n + 1)x]/(2 - 2cosx) + [cosx + cosnx - cos(n+1)x - 1]/(2 - 2cosx)

i*(sinx + sin2x + sin3x + .+sinnx) + (cosx + cos2x + cosx + .+cosnx) =
= i*[sinx + sin(nx) - sin(n + 1)x]/(2 - 2cosx) + [cosx + cosnx - cos(n+1)x - 1]/(2 - 2cosx), и значит,

sinx + sin2x + sin3x + .+sinnx = [sinx + sin(nx) - sin(n + 1)x]/(2 - 2cosx).

Im(eʲˣ(eʲⁿˣ − 1)/(eʲˣ − 1)).