Найти сумму ряда. С решением, пожалуйста

Есть у нас сумма:
S = A(1) + A(2) + A(3) + A(4) + и т. д.
Смотрю я на знаменатель общего члена:
A(n) = 14 / (49 n^2 - 84 n - 13 ).
Он так и просится, чтобы его до полного квадрата дополнили. Пробуем:
49 n^2 - 84 n - 13 = (7 n)^2 - 2 (7 n) 6 - 13 =
= (7 n)^2 - 2 (7 n) 6 + 6^2 - 6^2 - 13 =
= [(7 n)^2 - 2 (7 n) 6 + 6^2] - 49 =
= (7 n - 6)^2 - 7^2
Получилось красиво, теперь бахнем формулу разности квадратов:
49 n^2 - 84 n - 13 = (7 n - 6)^2 - 7^2 = (7 n - 6 - 7) (7 n - 6 + 7) =
= (7 n - 13) (7 n + 1)
Общий член рада принимает вид:
A(n) = 14 / [(7 n - 13) (7 n + 1)]
Дальше хочется попробовать эту дробь растащить на две дроби попроще. Она выглядит, как будто сложили две дроби со знаменателями (7 n - 13) и (7 n + 1). Представим ее так:
A(n) = [ X / (7 n - 13) ] + [ Y / (7 n + 1) ] = [ 7 (X + Y) n + (X - 13 Y) ] / [(7 n - 13) (7 n + 1)]
Это должно переходить в то же выражение, которое у нас и было для An. Знаменатели и так совпадают. Потребуем равенства числителей (при любом целом положительном n):
7 (X + Y) n + (X - 13 Y) = 14
Чтобы равенство выполнялось при любом n, придется потребовать:
X + Y = 0
X - 13 Y = 14
Рассматриваем это как системку 2 на 2 относительно X и Y, находим:
X = 1, Y = - 1
Тогда общий член ряда принимает вид:
A(n) = [1 / (7 n - 13)] - [1 / (7 n + 1)]
Выходит, сумма распалась на разность двух бесконечных сумм.
Общий член первой суммы:
a(n) = 1 / (7 n - 13)
Общий член второй суммы:
b(n) = 1 / (7 n + 1) = 1 / (7 [n+2] - 13) = a(n+2)
То есть, вторая сумма - такая же, только начинается не со слагаемого a(1), а со слагаемого a(3). Выходит, что при вычитании все слагаемые этих сумм, начиная с a(3), сократятся. То есть:
S = A(1) + A(2) + A(3) + A(4) + и т. д. =
= ( a(1) + a(2) + a(3) + a(4) + a(5) + a(6) + и т. д.) - ( a(3) + a(4) + a(5) + a(6) + и т. д.) =
= a(1) + a(2) = 1 / (7 - 13) + 1 / (14 - 13) = - (1/6) + 1 = 5/6
Ответ:
5/6

Ответ.