Помогите) Интеграл SinxCos^3 xdx Интеграл Sinx^3 Cos^8 xdx Интеграл (x^2 -3)e^x dx Интеграл (x+5)/(x^3 -x^2 -x+1) dx

РЕШЕНИЯ:
Вспомним: d(cosx) = -sinx dx, тогда:
Int(SinxCos^3 x)dx = -Int(cos³x*d(cosx)) = -(cosx)^4. (**)
Аналогично:
(Sinx)^3* (Cosх) ^8 dx = -(Sinx)^2* (Cosх) ^8 d(cosx) =
[(cosx)^2 – 1]* (Cosх) ^8 d(cosx) => раскроем квадратные скобки и получим разность двух степенных интегралов типа (**).

(x^2 -3)e^x dx = (x^2)*(е^х) dx - 3(e^x)dx = Int[(x^2)*(е^х)] dx – 3Int(e^x)dx = |первый берем по частям: х^2*е^х – 2Int(xe^x)dx = х^2*е^х – 2xe^x + 2e^x| = х^2*е^х – 2xe^x + 2e^x – 3e^x =
e^x*(x^2 – 2x – 1).

(x+5)/(x^3 -x^2 -x+1) = (x+5)/[x²(x – 1) + (x – 1)] =
(x+5)/[x²(x – 1) + (x – 1)] = (x+5)/[(x² +1)*(x – 1)] =
(Ax + B)/(x² +1) + C/(x – 1). =>
Ax² + Bx – Ax – B + Cx² + C = x + 5. →
{A + C = 0;
{B – A = 1;
{C – B = 5. Решаем эту систему:
B + C = 1 →. C – (1 – C) = 5 →
C = 3. → B = –2. → A = – 3.
Тогда:
Int[(x+5)/(x^3 -x^2 -x+1)] dx =
= Int[–3x/(x² +1) – 2/(x² +1) + 3/(x–1)]dx =
= Int[(–3/2)*d(x² + 1)/(x² + 1)] –2Int[dx/(x² +1)] + 3Int[dx/(x–1)] = –(3/2)*ln|x² +1| – 2arctgx + 3ln|x – 1| + C