Помогите решить уравнение sin2x+1=sin x + cos x

sin(2x) + 1 = sin(x) + cos(x)
распишем синус двойного угла:
2 sin(x) cos(x) + 1 = sin(x) + cos(x)
распишем 1, применив основное тригонометрическое тождество:
2 sin(x) cos(x) + sin(x)^2 + cos(x)^2 = sin(x) + cos(x)
слева воспользуемся формулой для суммы квадратов:
(sin(x) + cos(x))^2 = sin(x) + cos(x)
перенесем все в левую сторону и сумму sin(x) + cos(x) вынесем за скобки:
(sin(x) + cos(x)) ( sin(x) + cos(x) - 1 ) = 0
произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
sin(x) + cos(x) = 0 или sin(x) + cos(x) - 1 = 0
1)
sin(x) + cos(x) = 0
sin(x) = - cos(x)
tg(x) = - 1
x = (к + 3/4)п
2)
sin(x) + cos(x) - 1 = 0
1 - sin(x) = cos(x)
возведем в квадрат (тогда мы, возможно, получим лишние корни. Придется проверить корни после решения уравнения)
(1 - sin(x))^2 = cos(x)^2
(1 - sin(x))^2 = 1 - sin(x)^2
(1 - sin(x)^2) sin(x) = 0
1 - sin(x)^2 = 0 или sin(x) = 0
a)
1 - sin(x)^2 = 0
sin(x)^2 = 1
sin(x) = +/- 1
x = (k + 1/2)п
подставив в уравнение (2) видим, что нужно оставить только x = (2k + 1/2)п
b)
sin(x) = 0
x = пк
подставив в уравнение (2) видим, что нужно оставить только x = 2пк
Ответ:
x = 2пn
x = (4m+1)п/2
x = (4k+3)п/4
(n, m, k - целые)

sin2x+1=sinx+cosx

(2sinxcosx) + (sin²x+cos²x)=sinx+cosx

2sinxcosx + sin²x+cos²x=sinx+cosx

(sinx)² + 2*sinx*cosx + (cosx)² =sinx+cosx

(sinx+cosx)² = sinx+cosx

(sinx+cosx)² - (sinx+cosx)=0

(sinx+cosx) * (sinx+cosx - 1) =0

sinx+cosx = 0, sinx+cosx - 1 =0
1) sinx+cosx = 0 | * 1/cosx
sinx/cosx + 1 =0
tgx = -1
x = 3pi/4 + pin, n €Z
2) sinx+cosx - 1 =0
cosx + cos (pi/2 - x) = 1
2cos(pi/4) * cos(x-pi/4) =1
2* v2/2 * cos(x-pi/4) =1
cos(x-pi/4) =v2/2
(x-pi/4) =pi/4 +2pik, x=pi/2+2pik, k€Z
(x-pi/4) =-pi/4 +2pim, x=2pim, m€Z
(Итого три ответа)

Синус двойного угла в чистом виде.