Доказать, что любое n принадлежащее N хотя бы одно из трех чисел n,n+100,n+200 является составным. благодарю заранее...

Позвольте заметить, что при сложении чисел в предыдущем ответе очень неприятно отслеживать изменение суммы цифр при переходе через разряды.
В свете просьбы в Вашем предыдущем вопросе оформлю через сравнения по модулю.

100=99+1=1 (mod 3)
200=201-1=-1=2(mod 3)
Случаи.
1.n=0 (mod 3), n делится на 3.
2.n=1 (mod 3), n+200=-1+1=0(mod 3), n+200 делится на 3.
3.n=2 (mod 3), n+100=2+1=3=0(mod 3), n+100 делится на 3.

В любом случае одно из чисел делится на 3.

По предыдущей задаче.
Хорошо, давайте тупо сравнениями по модулю.
A=n^5-5n^3+4n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)

1. Сравнения по mod 5.
Возможны случаи.
n=0(mod 5), A=0 (mod 5)
n=1(mod 5), n-1=0(mod 5), A=0 (mod 5)
n=2(mod 5), n-2=0(mod 5), A=0 (mod 5)
n=3(mod 5), n+2=5=0(mod 5), A=0 (mod 5)
n=4(mod 5), n+1=5=0(mod 5), A=0 (mod 5)

2. Сравнения по mod 3.
Возможны случаи.
n=0(mod 3), A=0 (mod 3)
n=1(mod 3), n-1=0(mod 3), A=0 (mod 3)
n=2(mod 3), n+1=3=0(mod 3), A=0 (mod 3)

3. Сравнения по mod 4.
Возможны случаи.
n=0 (mod 4), n+2=0 (mod 2), n*(n+2)=0 (mod 8), A=0 (mod 8)
n=1 (mod 4), n-1=0 (nod 4), n+1=0 (mod 2), (n-1)(n+1)=0 (mod 8), A=0 (mod 8)
n=2 (mod 4), n-2=0 (nod 4), n=0 (mod 2), (n-2)*n=0 (mod 8), A=0 (mod 8)
n=3 (mod 4), n+1=4=0 (nod 4), n-1=0 (mod 2), (n-1)(n+1)=0 (mod 8), A=0 (mod 8)

4. A=0 (mod 8), A=0 (mod 5), A=0 (mod 3)
8, 5, 3 – попарно взаимно простые.
A=0 (mod 5*8*3)=0(mod 120)

Если сумма цифр числа делится на 3, то это число делится на 3.
К примеру сумма цифр вашего примера 10, прибавляя 100, сумма получится 11, если прибавить не 100, а 200, то сумма цифр получится 12.

Поэтому одно число из этого ряда по любому будет делится на 3