Геометрическая интерпретация дифференциала. вы можете дать развернутый ответ? пожалуйста помогите.

В Википедии самый развёрнутый ответ.

я не могу

Если задачу об отыскании всех решений дифференциального уравнения удается свести к конечному числу алгебраических операций, операций интегрирования и дифференцирования известных функций, то говорят, что уравнение интегрируется в квадратурах. В приложениях крайне редко встречаются уравнения, интегрируемые в квадратурах. Поэтому для исследования дифференциальных уравнений широко используются приближенные, численные методы их решения.

Численное решение на отрезке [a, b] задачи Коши
y' = f(x, y), y(a) = y0
состоит в построении таблицы приближенных значений
y0, y1, ..yi, ..yN
решения y(x) в узлах сетки
a=x0 < x1 < ...< xi < ...< xN=b, y(xi)@ yi.
Если xi = a+ i h, h=(b-a)/ N, то сетка называется равномерной.

Численный метод решения задачи Коши называется одношаговым, если для вычисления решения в точке x0 + h используется информация о решении только в точке x0.

Простейший одношаговый метод численного решения задачи Коши - метод Эйлера. В методе Эйлера величины yi вычисляются по формуле
yi+1 = yi + h f(xi, yi), i = 0, 1, ..

ПРИМЕР 1. Решение задачи Коши методом Эйлера.

ПРИМЕР 2. Решение задачи Коши методом Эйлера с шагом h и h/2.

Метод Эйлера допускает простую геометрическую интерпретацию. Пусть известна точка (xi, yi) интегральной кривой уравнения y'=f(x, y).
Касательная к интегральной кривой уравнения, проходящая через эту точку, определяется уравнением
y = yi + f(xi, yi)(x-xi).
Следовательно, вычисленная методом Эйлера точка (xi+1, yi+1 ),
где xi+1=xi+h, yi+1=yi + h f(xi, yi), лежит на этой касательной.

ПРИМЕР 3. Геометрическая интерпретация метода Эйлера.

Методом Рунге-Кутты четвертого порядка точности называют одношаговый метод, относящийся к широкому классу методов Рунге-Кутты. В этом методе величины yi+1 вычисляются по следующим формулам:
yi+1 = yi + h (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/6, i = 0, 1, ..
k1 = f(xi, yi),
k2 = f(xi+h/2, yi+hk1/2),
k3 = f(xi+h/2, yi+hk2/2),
k4 = f(xi+h, yi+hk3).

ПРИМЕР 4. Решение задачи Коши методом Рунге-Кутты 4-го порядка.

ПРИМЕР 5. Сравнение приближенных решений, вычисленных методом Эйлера и Рунге-Кутты.

Практически оценить погрешность численного метода позволяет правило Рунге. Сначала вычисляют приближенное решение с шагом h, затем - с шагом h/2. Тогда для метода Рунге-Кутты 4 порядка точности справедливо приближенное равенство
y(x2i) - y2i(h/2) @ (y2i(h/2) - yi(h))/15,
здесь yi(h) - приближенное решение, вычисленное с шагом h,
y2i(h/2) - приближенное решение, вычисленное с шагом h/2.
За оценку погрешности решения, вычисленного с шагом h/2, принимают величину
maxi|y2i(h/2) - yi(h) |/15.

а сами поискать слабо в интернете?