остались долги с сессии

Сроки сдачи хвостов во всех вузах разные и для всех студентов разные. Тут все зависит от деканата, который принимает решение продлить хвостовую сессию для конкретного студента или не продлять ее.
Обычно деканат (если конкретно - замдекана по вашему курсу) смотрит на то, сдает ли студент хвосты или вообще забил на это дело. Т. е. допустим, елси у человека было 3 хвоста и он за время хвостовой сдал 2 хвоста, а 1 не смог, ему сессию наверняка продлят. А если человек в универе не появлялся, то наверняка отчислят.

Короче, держи деканат в курсе дел - объясняй ситуацию, говори, что обязательно все сдашь, как только тебе дадут такую возможность.

И еще полезный факт - необязательно сдавать предмет строго своему преподавателю. Как раз на случай, когда тебе нужно сдать хвост, а преподавателя нет, существует пункт в уставе вуза, который позволяет студенту сдать зачет/экзамен ЛЮБОМУ свободному на данный момент преподавателю даной кафедры.

Это значит, что ты такой авторитет заработал (а) , что тебя готовят к отчислению

я бывало до начала следующей сессии сдавал, но хз, какие у вас там порядки, в деканате спрашивай

будь настойчивее, лови преподавателей, договаривайся с ними. с такими темпами конечно же отчислят - само собой ничего не решится.

Если институт платный, то нет.