Как создаются частные ВУЗы?

Ну как создается вуз, вам уже сказали, но еще необходимо получить ЛИЦЕНЗИЮ (не путать с аккредитацией)
Аккредитация проводится Федеральной службой по надзору в сфере образования и науки, созданной из преподавателей нескольких вузов и назначается Рособрнадзором. Аккредитуется не вуз, а направления (образовательная программа) в вузе после первого выпуска. За од до аккредитации вузом подается заявление в Рособрнадзор и проводится самообследование вуза, сотрудниками вуза собирается очень много документов (кол-во монографий, учебников, кол-во аспирантов, кол-во студентов, какая площадь приходится на одного студента, результаты тестирования, кол-во профессоров, остепененность сотрудников, темы дипломных, результаты защит и ГОСов, ..и еще много=много чего, ). Перечень показателей деятельности образовательного учреждения, необходимых для установления его государственного статуса, утверждается Министерством образования и науки России. После этого приезжает комиссия и проводит государственную экспертизу, составляет акты и предоставляет все это в Рособрнадзор. Там принимает решение об аккредитации (или нет) вуза.
Теперь о вас лично.
Может вы и заняли какое-то там место в какой-то там олимпиаде. но вы не знаете того, что удостоверение вуза, как вы сами назвали, называется СТУДЕНЧЕСКИЙ БИЛЕТ. И еще очень хорошо сказано "числюсь в нескольких университетах" - вот именно, ЧИСЛЮСЬ, это оговорка с вашей стороны очень многое о вас говорит, да и практика слушателей сейчас, как-то, не применяется.

преподаватели в вузе организуются собираются и создают свой вуз

Государственная аккредитация ВУЗа – это признание уполномоченными государственными органами качества образовательного учреждения, его соответствия установленным стандартам.

Как правило, аккредитация учебного заведения проводится раз в 5 лет. Вновь организованные университеты или отдельные филиалы, а также новые специальности могут получить гос аккредитацию только после первого выпуска.
После успешного прохождения процедуры аккредитации университет получает свидетельство и Приложение к нему, где перечислены все аккредитованные специальности. В свидетельстве также указаны тип учебного заведения (ВУЗ) и его вид («Университет» , «Академия» или «Институт») . Филиал не может быть аттестован самостоятельно, без головного отделения университета. В каждом филиале в обязательном порядке должна быть копия сертификата и приложения.