Прочитайте предложения, определите, правильно ли они построены. Правильный вариант запишите.

1. Роман содержит критику сословных предрассудков, господствовавших в прошлом веке на родине писателя.
Если в "прошлом веке", то и причастие нужно ставить в прошедшее время: "господствовавших". И для наглядности перенести к нему поближе "прошлый век".
2. Задание, выполняемое нами, не вызывает особых затруднений.
Здесь уместно не действительное причастие, указывающее на то, что кто-то или что-то там выполняет, а страдательное, поскольку задание выполняется не само, а кем-то, то есть нами.
3. Писатель рассказал об изменениях в книге, подготавливаемой им к переизданию.
См. пункт 2.
4. В ближайшее время будет показан новый спектакль, созданный участниками школьного драматического кружка.
То же. Убираем "силами членов" -- недопустимый в данном случае канцеляризм.
5. Регулярно выпускаемая нами стенгазета сообщает интересные сведения о жизни школьного коллектива.
Не может газета сама выпускаться. То же.
6. Встречаясь в соревнованиях на первенство страны по шахматам с опытным гроссмейстером, молодой мастер одержал блестящую победу.
Так звучит более стройно и логично. Меняем первый предлог "на" на предлог "в", чтобы не было тавтологии (ненужного повторения).
7. Учитывая нехватку времени студентов, книга изложена предельно коротко.
"Изложение сделано" -- громоздкая конструкция. "Бюджет" -- слово из области материального, поэтому к времени не подходит. Ставим деепричастный оборот на первое место, чтобы прояснить смысл.
8. Вторично прочитав работу, думаю, что основные мысли выражены в ней правильно.
Меняем местами "вторично" и "прочитав" -- так лучше звучит. "Мне думается" -- тоже ненужное нагромождение.
9. Подъехав к реке, мы остановили лошадей, быстро соскочили на землю и, наскоро раздевшись, бросились в воду.
Приводим деепричастие "подъезжая" в соответствие с глаголами, то есть ставим его в прошедшее, как у них, время.
10. Он ушел, выполнив домашнее задание и закончив личные (или свои) дела.
Он ушёл, когда выполнил домашнее задание и закончил личные (или свои) дела.
Он ушёл, что сделав? Выполнив и закончив. Когда он ушёл? Когда выполнил и закончил. Или так, или так, чтобы деепричастия и глаголы были однородны. Или все глаголы соответствовали друг другу.
"Свои личные" -- семантический плеоназм (ненужное повторение одинаковых по смыслу слов), поэтому оставляем или "свои", или "личные".