Как извлечь без калькулятора квадратный корень из очень большого числа? Число целое и ответом тоже будет целое число

Столбиком. Далее скопировано из одного из ответов, за правильность и четкость изложения не отвечаю:
Раньше в средних классах школы изучали способ извлечения квадратного корня столбиком.
В старых учебниках алгебры и справочниках по элементарной математике примерно до 1960 года можно найти этот алгоритм извлечения квадратного корня.

Деление столбиком основано на представлении произведения
( a + b ) ( d + e ) = ad + bd + ae + be

а извлечение квадратного корня из многозначных чисел на формуле
( a + b + c )^2 = a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2

извлечение кв. корня на бумаге чем-то похоже на деление столбиком.
В квадратном корне в два раза меньше цифр, чем в исходном числе. Поэтому число, из которого извлекают корень, делят на группы по 2 цифры справа налево. При делении к последовательным остаткам последовательно добавляются новые цифры делимого и находится новая цифра частного. При извлечении корня по мере нахождения цифр результата к остаткам приписываются группы из 2 цифр, и каждая следующая группа позволяет определить одну следующую цифру корня.

Например, если нужно извлечь корень из 4389, получаются две группы: 43'89

Первую цифру корня A угадываем, чтобы квадрат цифры был чуть меньше первой (старшей) группы цифр. В нашем случае это может быть 6 ( 6x6=36). К "остатку" ( в нашем случае 7 ) приписываем следующую группу цифр:
43'89 [__6
36
-----
_7'89

остальные цифры b и новые остатки находим из 2Ab + b^2 = (2A+ b) b:
Уже найденные цифры корня умножаем на 2 и находим такую цифру b чтобы число ( 20 A + b )*b было чуть меньше остатка.
Т. е в нашем случае число 12x (x-незвестная цифра) при умножении на x должно дать что-то около 789. Снова подходит 6 ( 126*6 = 756 ) а новый остаток = 33

43'89 [__66,xxxxx
36
-----
_7'89
_756
____
___33,00

Если нужны знаки после запятой, можно сносить группы из 00, так же как при делении мы приписываем столько 0, сколько нужно для обеспечения точности.
Примерно так. Если нужны подробности, постараюсь найти более связное изложение извлечения корня в столбик.

С каждой цифрой "остаток" удлиняется, и считать приходится больше, поэтому:
ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ КВАДРАТНОГО КОРНЯ ПОЛЬЗУЙТЕСЬ КАЛЬКУЛЯТОРОМ, EXCELем и прочими достижениями цивилизации!

При извлечении корней число приводится к стандартному виду, поэтому даже компьютер корни из больших чисел никогда не извлекает.
Пример. √миллиарда=√.1e10=1e5*√.1 или 1е4*√10
"Число целое и ответом тоже будет целое число" - это неверное утверждение
Извлечение корней вручную - смотрите тут:
http:// ru.wikihow.com/найти-квадратный-корень-числа-вручную

Один из вариантов - разложить число на простые множители.