Найдите ошибки в построении предложений.

1. Во время игры в шахматы у меня заболела голова.
Неправильно употреблён деепричастный оборот.
2. Каждый гражданин своей страны должен знать, как зарождалась его Отчизна, какие переломы в судьбе она пережила.
"О том" -- речевое излишество.
"Зарождалась Родина" -- тавтология, ненужное дублирование однокоренных слов.
"Переломы судьбы пережила" мне просто не нравится.)
3. При чтении В. Сухомлинского к тебе приходят разные мысли.
Неправильно употреблён деепричастный оборот.
4. Группа студентов-первокурсников занимаЕтся в спортзале.
Сказуемое "занимается" относится к подлежащему "группа", поэтому должно стоять в том же числе.
5. Абсолютное большинство хорошо подготовленО к сдаче экзамена.
Большинство подготовлено, а не подготовлены. См. п. 4.
6. На стройку наняли рабочих и завезли стройматериалы и бетон.
Нельзя валить в одну кучу и людей, и неодушевлённые материалы.
8. Во время перехода (при переходе) через рельсы стрелочника оглушил неожиданный свисток паровоза.
Когда стрелочник переходил через рельсы, его оглушил неожиданный свисток паровоза.
Неправильно употреблён деепричастный оборот.
9. Кот, удивлённый случившимся, перестал красть.
"Он" -- речевое излишество.
10. У него было раскрасневшееся от мороза лицо.
Неоправданная инверсия, то есть перестановка слов.
11. К автобусу бежала одетая по моде женщина и гладко выбритый мужчина.
"Одевающаяся" и "гладко бреющийся" нужно употребить в прошедшем времени, а то получается, что дама одевалась, а мужчина брился, догоняя автобус.
12. Оплачивайте проезд.
За что-то можно только платить, а что-то -- оплачивать.
13. В шкафу стоит много книг.
14. Этот населенный пункт находится в полутораста километрах.
Числительное "полтораста" в предложном падеже имеет форму "полутораста".

Правило: в предложении и основное, и дополнительное действие, выраженное деепричастным оборотом, должны относиться к подлежащему:
Переходя через рельсы (дополнительное действие), стрелочник (подлежащее) был оглушён (основное действие) неожиданным свистком паровоза. А то в предложении № 8 получается, что свисток переходил через рельсы и оглушил бедного стрелочника.)

12. убрать ЗА.
9. убрать ОН.
8. стрелочника, переходившего через рельсы...
13. стоИт.
5. подготовлено.
4. занимаЕТСЯ
10. раскрасневшееся от мороза
лицо.