Как проверить, является ли величина тензором или нет?

Строго говоря любую величину можно считать тензором, правда смотря какого ранга. Большинство физических величин это тензоры либо их свёртки. Скаляр - тензор нулевого ранга. Вектор - тензор первого ранга, точнее ранга (0,1). К тензорам не относятся матрицы преобразования координат (например Якоби матрица) , а также символы Кристоффеля. Матрицы, заполненные "от балды" также не являются тензорами, т. к. не преобразуются определённым образом, т. е. в соответствии со строгим законом. Не являются тензорами объекты, все компоненты которых нулевые в данном полном базисе, в то время как в другом полном базисе хотя бы одна компонента ненулевая.

Тензор - многомерная таблица t*t*t...*t, заполненная числами, компонентами тензора.
Число множителей - валентность тензора.
Представление тензоров возможно только после выбора базиса (координат) .
Но сам тензор от выбора системы координат.
Тензор нулевой валентности - скаляр, первой валентности - вектор
Вообще тензор - это логическое продолжение понятие вектора.

В физическом же смысле - тензор есть параметр НЕ зависящий от того как его измеряют.

Цитата: "Тензоры объединяют целый ряд понятий, находящих применение в физике и математике, в частности, в аналитической геометрии.
Частными случаями тензоров являются векторы, линейные операторы, квадратичные формы.
Отличительным свойством тензоров является то, что тензор определяется системой чисел – координат тензора, которые при переходе к новой системе координат преобразуются по так называемому тензорному закону – линейному закону особого рода...
...Тензор ранга 0 называют инвариантом или скаляром.

Тензор ранга 1 можно интерпретировать как вектор,

тензор ранга 2 – как линейный оператор. "

большинство тензоров в физике (не рассматривая скаляров и векторов) имеют всего два индекса (имеющие большую валентность, такие, как Риманова кривизна в ОТО, встречаются, как правило, только в теориях, считающихся достаточно сложными, да и то нередко фигурируют в основном в виде своих свёрток меньшей валентности) . Большинство симметрично или антисимметрично.

Пример нетензорных величин, спинорных - http://www.milogiya2007.ru/spinor1.htm

Тензор - величина, которая при преобразоваии координат преобразуется определенным видом, подробнее - http://relativitytheory.ru/read/ru/E4B9B5B60E14E6281802ACE7AD232BC4311E3D58/pg_0012.htm

p.s. С этой темой я знаком только вскользь, поэтому не стоит воспринимать мой ответ как полностью верный. Возможно, я неправ