Могу ли я получить аттестат среднего общего образования, если у меня уже есть диплом о среднем специальном?

можете, есть школы экстерна где принимают экзамены на аттестат общего среднего . Обратитесь в отдел народного образования своего района или города и вам подскажут адрес .
Как вариант зачислят в старшие классы этой школы для подготовки к экзаменам, некоторые предметы могут перенести из аттестата специального образования .
У меня так сделал сын . у него был диплом среднего образования, в технический вуз он не подходил по профилю, пришлось пересдавать предметы для документа и потом для поступления .

Что это за учреждение такое, интересно?

Какие-то глупости... Не может в вузе что-то "котироваться". ЛЮБОЙ диплом СПО равноценен аттестату. Ты сдаешь вступительные экзамены (или ЕГЭ - заранее), проходишь конкурс и поступаешь, либо не проходишь конкурс и не поступаешь. Если у тебя не принимают документы в ПК с твоим дипломом СПО, ты должен потребовать письменного обоснования отказа с подписью ответственного секретаря ПК и печатью ПК, а потом подавать на отказавших тебе в суд с требованием компенсации материального и морального ущерба.
Единственный мыслимый отказ в принятии документов - возрастной ценз/гендерный ценз/состояние здоровья/невозможность пройти какие-то дополнительные конкурсы. Но, все равно, вид документа о полном среднем образовании никакого отношения к этому не имеет.

Видимо новый "заскок", как когда то не брали доки у тех кого с бюджете отчислили, типа вы уже не можете поступать, бесплатно одно образование получаемое впервые! В Р. Ф. Вуз вроде как обязана принять диплом техникума, колледжа, который СПО, там по определению должны быть предметы за 10-11 классы. И диплом НПО если там есть предметы за 10-11 классы. И вроде как значения профиль диплома не имеет. То есть, закончили технический колледж но решили- буду врачом. В приемной комиссии сказали- ок, будете сдавать химию, биологию, русский у нас или есть результаты ЕГЭ? И все.