10-11 КЛАСС ВОШ ОЛИМПИАДА

А подумать немного? Вы же знаете, что такое делитель, значит у вас есть все, что нужно, для решения. Ну вот представим, что мы вообще не знаем, с чего начать и куда идти, просто начнем выписывать все, что знаем:
-
Обзовем это число X, тогда:
X = 91 * n * m
такое число делится и на n и на (91*n).
1)
Если n - не простое число, то есть какое-то число k < n, на которое делится n.
Тогда и число X делится на k < n, а тогда n - не наименьший делитель числа X.
Значит n - простое число.
2)
Рассмотрим число 91. Оно представимо в виде множителей:
91 = 7*13
Тогда число X делится на 7 и на 13.
Значит, чтобы n был наименьшим делителем, должно быть:
n < 7 или n = 7.
3)
Получается, что n - просто число не более 7 (но больше 1). Возможны варианты:
n = 2, 3, 5, 7.
4)
Т. к. n - наименьший делитель, m не может быть меньше, чем n (иначе X делился бы на m < n).
Т. к. n - наименьший делитель, m не может содержать делители меньше, чем n (иначе и X будет делиться на этот делитель, меньший, чем n).
Значит:
m > n или m = n.
m не содержит делителей < n.
5)
Пусть m - не простое число, тогда оно представимо в виде:
m = k * j
А тогда:
X = 91 * n * m = 91 * n * k * j
То есть X делится на (91 * n * k) и на (91 * n * j). А тогда 91 * n - не наибольший делитель.
Выходит, что m - простое число.
6)
Числа: n * m и 91 * m - так же делители числа X. А раз 91 * n - наибольший делитель, то:
n * m <= 91 * n
91 * m <= 91 * n
тогда:
m <= 91 и m <= n.
7) Сравним пункты (6) и (4):
m <=n и m >= n.
Получается, что: m = n.
-
В итоге получаем общий вид всех возможных чисел, больший делитель которых в 91 раз больше меньшего:
X = 91 * n^2, где:
n = 2, 3, 5, 7.
Тогда можем просто перечислить эти числа:
364, 819, 2275, 4459

И как будем делить олимпийскую медаль?