Математическая физика. Помогите понять

Решить легко. Алгоритм простой. Но если вы хотите понять... Это сложно объяснить текстом. Надо рисовать, и желательно еще с вами при этом взаимодействовать) Давайте попробуем.
(1/x) Zx + (1/y) Zy = 4
x = 0: Z = y^2
Ищем решение в виде:
Z = 2 x^2 + V
Подставляем это в уравнение, и в начальное условие, и переходим к задаче для V:
(1/x) Vx + (1/y) Vy = 0
x = 0: V = y^2
Левую часть уравнения можно переписать как произведение векторов:
([1/x] e_x + [1/y] e_y) grad(V) = 0
Последняя строчка, что grad(V) перпендикулярен вектору [1/x] e_x + [1/y] e_y.
А grad(V) показывает направление (и величину) изменение V. И это направление перпендикулярно указанному вектору. Это означает, что вдоль этого вектора значение V не меняется. Найдем уравнения этих линий:
dx / [1/x] = dy / [1/y]
x dx = y dy
x^2 / 2 = y^2 / 2 + const
y^2 - x^2 = C
Конкретное значение C задает конкретную кривую. V зависит от точки (x,y), но значение V не меняется, при смещении точки вдоль кривой. И зависит только от того, на какой кривой находится точка. То есть, зависит от C. Поэтому:
V = Ф (C)
При x = 0:
y^2 - x^2 = C
y^2 = C0
V = Ф (С0)
Берем доп. условие:
x = 0:
V = Ф (C0) = y^2 = C0
То есть:
Ф (С) = С
Тогда:
V = C
или:
V = y^2 - x^2
Возвращаемся к Z:
Z = V + 2 x^2 = x^2 + y^2
Ну и вообще, тут я воспользовался линейностью, чтобы избавиться от 4 справа. Но вам, вероятно, придется осваивать более общий метод.