Методы математической физики

Ну это длинная задача, если делать ее обстоятельно. Все упирается в то, что вам придется открыть теорию и втащиться в нее. Опишу основные шаги. Уравнение:
dU/dt = a^2 Lap(U)
От угла у вас ничего не зависит, от высоты тоже. Поэтому в уравнении теплопроводности остается только радиальная часть лапласиана:
dU/dt = (a^2 /r) (d/dr) (r dU/dr)
Разделяем переменные:
U(r,t) = R(r) T(t)
Подставляем в уравнение:
R T' = a^2 T (r R')' / r
Или:
T' / (a^2 T) = (r R')'/(r R)
Слева функция только от t, справа функция только от r. Значит они равны константе.
Приравняем константе отдельно правую часть:
(r R')'/(r R) = - v
(r R')' + v r R = 0
R'' + (1/r) R' + v R = 0
В нуле у уравнения какая-то "нехорошая" точка, ожидаем там треш. Поэтому сами навешиваем условие на ограниченность температуры (хотя, оно и так обычно подразумевается), тогда:
|R| < +inf
На границе r0 цилиндра температура равна нулю, поэтому:
R(r0) = 0
Фиксируем v (предполагаем, что оно имеет какое-то конкретное значение). Решение уравнения при конкретном v обозначим Rv(r). И для этого v ищем решение в виде бесконечного ряда:
Rv(r) = r^s (a[0] + a[1] r + a2[r]^2 + a[3] r^3 + a[3] y^4 + и т. д.)
Подставляете это в уравнение, вы получите рекуррентное соотношение для коэффициентов ряда:
(s + k + 2)^2 a[k+2] + v a[k] = 0
А так же соотношение для первых двух коэффициентов:
s a[0] = 0
(s + 1) a[1] = 0
Предположим, a[1] не равен нулю. Тогда s = -1. От сюда последует, что a[0] = 0. Из рекуррентного соотношения видно, что все четные коэффициенты станут равны нулю, а первое слагаемое ряда будет неограниченным в нуле. Неподходящий вариант для нас.
Предположим, a[0] не равно нулю. Тогда s = 0, и a[1] = 0. Из рекуррентного соотношения следует равенство нулю всех нечетных коэффициентов. Четные коэффициенты легко находятся из этого же соотношения:
a[2k] = (-1)^k v^k a[0]/ [2^(2k) (k!)^2]
Тогда решение уравнение, ограниченное в нуле:
Rv(r) = a[0] (-1)^k v^k (r / 2)^(2k) / (k!)^2 (суммируем по k = 0, 1, 2,...)
Уравнение линейное, однородное, множитель не важен, опускаем a[0] (или кладем его равным 1). Одно решения уравнения мы уже отбросили, потребовав ограниченности. Теперь накладываем условие:
Rv(r0) = 0
Но видно, что при v < 0 все слагаемые будут одного знака, и это условие окажется невыполнимым. Значит v > 0. (v = 0 даст решение в виде константы, которая приравняется нулю для выполнения граничного условия).
Раз v > 0, заменим его на z^2. Переобозначим решение, внесем z внутрь скобки:
Rv(r) = Rz(r) = (-1)^k (z r / 2)^(2k) / (k!)^2 (суммируем по k = 0, 1, 2,...)
Получившаяся функция - нулевая функция Бесселя.
J(x) = (-1)^k (x / 2)^(2k) / (k!)^2
Тогда наше решение можно записать так:
Rz(r) = J(z r)
Потребуем равенства нулю в точке r = r0:
Rz(r0) = 0
J(z r0) = 0
z r0 = M[k]
z = M[k] / r0
И решение запишется так (опять переобозначим):
Rk(r) = J(M[k] r / r0), (где J(M[k]) = 0, k = 1, 2, 3, ..)
Возвращаемся к уравнению для R, запишем его дважды:
(r Rk')' + r (M[k] / r0)^2 Rk = 0
(r Rn')' + r (M[n] / r0)^2 Rn = 0
Первое умножим на Rn, второе умножим на Rk:
Rn (r Rk')' + (M[k] / r0)^2 r Rn Rk = 0
Rk (r Rn')' + (M[n] / r0)^2 r Rk Rn = 0
Первые слагаемые преобразуем:
(r Rk' Rn)' - r Rk' Rn' + (M[k] / r0)^2 r Rn Rk = 0
(r Rn' Rk)' - r Rn' Rk' + (M[n] / r0)^2 r Rk Rn = 0
Вычитаем уравнения одно из другого:
(r [Rk' Rn - Rk Rn'])' = (M[n]^2 - M[k]^2) r Rn Rk / r0^2
Интегрируем от r = 0 до r = 1, слева интеграл снимает производную, а полученное выражение на границах равно нулю. Слева сократим на r0, получим:
(M[n]^2 - M[k]^2) (Rn, Rk) = 0
В скобках - интеграл от Rn Rk r - скалярное произведение двух функций. Получили соотношение ортогональности. Если n не равно k, то:
(Rn, Rk) = 0
Основное сделано. Т. к. уравнение линейное, то сумма решений - решение.

Никто такое не решит тут