Доказать методом математической индукции

1. Сначала надо проверить, что данное равенство верно для какого-то значения. Ну предположим для n = 2. Мы получим, что
1/(1 * 2) + 1/(2 * 3) = 2/3
Слева общий знаменатель 6
3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3
Вроде верно.
2. Чтобы не проверять для 3, для 4, для 5 и т. д., предположим сразу, что данное равенство выполняется точно до какого-то целого числа k. Теперь, если данное равенство выполнится для k + 1, то получается, что каким бы число k ни было, равенство всегда будет выполнятся для следующего числа, а значит и для всех целых n оно верно.
Запишем равенство для k: 1/(1 * 2) + 1/(2 * 3) + .+ 1/(k(k + 1)) = k/(k + 1).
Из предположения выше, данное равенство верно. Теперь проверим для k + 1:
1/(1 * 2) + 1/(2 * 3) + .+ 1/((k + 1)(k + 2)) должно быть равно (k + 1)/(k + 2)
Если записать левое выражение с предпоследним слагаемым, то получится
[1/(1 * 2) + 1/(2 * 3) + .+ 1/(k(k + 1))] + 1/((k + 1)(k + 2))
то, что есть в квадратных скобках, равно k/(k + 1), по предположению выше.
Получается k/(k + 1) + 1/((k + 1)(k + 2)) должно быть равно (k + 1)/(k + 2)
Общий знаменатель (k + 1)(k + 2). В итоге
k(k + 2)/((k + 1)(k + 2)) + 1/((k + 1)(k + 2)) = (k^2 + 2k + 1)/((k + 1)(k + 2)) =
= (k + 1)^2/((k + 1)(k + 2)) = (k + 1)/(k + 2)
Действительно, это верно.

1) При n=1 получаем: 1/(n*(n+1))=1/(1*2)=1/2 - верно
2) Пусть равенство верно при n=k:
1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(k*(k+1))=k/(k+1)
3) Нужно доказать, что отсюда следует справедливость равенства и при n=(k+1), т. е.
1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(k*(k+1))+1/((k+1)*(k+2))=(?)=(k+1)/(k+2)
Используя п. 2, получим:
k/(k+1) + 1/((k+1)*(k+2)) = (k*(k+2)+1)/((k+1)*(k+2))=(k²+2*k+1)/((k+1)*(k+2))=
(k+1)²/((k+1)*(k+2))=(k+1)/(k+2) - верно,
следовательно равенство верно.