Как доказать это неравенство с помощью математической индукции?

1 + 1/√2 + 1/√3 + … + 1/√n < 2√n
Проверим это неравенство при n = 2, в этом случае оно примет вид:
1 + 1/√2 < 2√2
Очевидно, что левая часть неравенства меньше правой, значит, это неравенство верное.
Пусть при n = k, где k ≥ 2 выполняется неравенство
1 + 1/√2 + 1/√3 + … + 1/√k < 2√k
Тогда докажем, что выполняется неравенство:
1 + 1/√2 + 1/√3 + … + 1/√k + 1/√(k + 1) < 2√(k + 1)
Если прибавить к обеим частям неравенства
1 + 1/√2 + 1/√3 + … + 1/√k < 2√k
число 1/√(k + 1), то получится:
1 + 1/√2 + 1/√3 + … + 1/√k + 1/√(k + 1) < 2√k + 1/√(k + 1)
Далее, если доказать, что:
2√k + 1/√(k + 1) < 2√(k + 1), то по свойству транзитивности числовых неравенств будет доказано и неравенство:
1 + 1/√2 + 1/√3 + … + 1/√k + 1/√(k + 1) < 2√(k + 1)
Поработаем с неравенством: 2√k + 1/√(k + 1) < 2√(k + 1), рассмотрев разность правой и левой частей этого неравенства и выполнив некоторые преобразования.
2√(k + 1) - (2√k + 1/√(k + 1) ) = (2k + 2 - 2√(k + 1) √k - 1) / √(k + 1) =
= (k + 1 - 2√(k + 1) √k + k)) / √(k + 1) = (√(k + 1) - √k))² / √(k + 1)
Это выражение положительно, значит, неравенство:
2√k + 1/√(k + 1) < 2√(k + 1) верно, поэтому верно и неравенство:
1 + 1/√2 + 1/√3 + … + 1/√k + 1/√(k + 1) < 2√(k + 1)
Итак, требуемое неравенство доказано, так как два условия математической индукции выполнены.