Найти пределы числовых последовательностей или установить их расходимость. Помогите, пожалуйста

1.1 a(n) = 1 + 3/10 + 3/100 + ... + 3/10ⁿ
Степенной ряд, сходящийся (как это нетрудно и невооружённым глазом увидеть) к 1.(3) = 4/3.

1.2 Такая штука монотонно убывает (легко показать, что a(n+1) < a(n)) и ограничена снизу (например, она всегда строго положительна, т.е. не достигает нуля). Поэтому она сходится. А к чему - отдельный вопрос. Попробуем умножить числитель и знаменатель на 7:

 (4ⁿ⁻¹ + 3ⁿ⁻¹) ∙ (4 + 3) = 4ⁿ + 3ⁿ + 12 ∙ (4ⁿ⁻² + 3ⁿ⁻²)

(4ⁿ⁻¹ + 3ⁿ⁻¹) / (4ⁿ + 3ⁿ) = 1/7 + 12/7 ∙ (4ⁿ⁻² + 3ⁿ⁻²) / (4ⁿ + 3ⁿ) 

Отсюда видим, что меньше 1/7 предел не может быть.
Можно повторить упражнение, дважды умножив числитель и знаменатель остатка на 7. Так выделим ещё слагаемое:

 1/7 + 12/343 = 61/343 

Может быть, есть способ и попроще, но в голову навскидку не приходит.

1.3 Расходится при n → ∞, т.к. синус ограничен и не сходится к нулю (предел последовательности - бесконечность).

№1. Сходится, предел равен 1 целая 3/9 = 1 целая 1/3 = 4/3

№2 просто найти предел:
lim (4ⁿ⁻¹ + 3ⁿ⁻¹) / (4ⁿ + 3ⁿ) = lim 4ⁿ⁻¹(1 + (3/4)ⁿ⁻¹) / 4ⁿ(1 + (3/4)ⁿ) = 1/4 lim (1 + (3/4)ⁿ⁻¹) / (1 + (3/4)ⁿ) = 1/4(1 + 0) / (1 + 0) =1/4
последовательность сходится

№3 последовательность сходится, т.к. sin(pi*n)=0 при любом целом n. Т.е. это последовательность из нулей. Следовательно, предел тоже равен 0