Медицинская страховка для заграницы становится действительна сразу после оплаты?

Нет, она не сразу действительна. Она действительна с тех дат, которые там указаны ( и вы их сами же и заполняли). То есть с такого-то числа по такое-то. На визу ее подать можно. А что касается справки, то никакие справки заранее в СК подавать не нужно. Это будет нужно во время поездки, если вы заболеете и захотите воспользоваться этой страховкой.

А вам не кажется, что у любого документа имеется срок действия? Посмотрите внимательно.

Если визы выдают, то подавайте. Только мед. страховка это один из многих документов, которые нужны для получения визы, по крайней мере для стран Евросоюза. Как вы собираетесь проверять потребуют или нет, не понятно.
И еще. А вы уверены, что визы сейчас выдают без веской причины?

Никто не говорит. Не знаю, где Вы это вычитали и с этим вопросом всех достали. Вам сказали, что ничего не нужно. Действительна она в пределах дат, указанных в страховке. Подать на визу можно.

Страховка имеете свой определённый срок действия, он указан в самом полисе.

Вот интересно-то, а какие даты Вы указали в страховке?

Когда Вы оформляете страховку, Вы указываете даты пребывания за границей, т. е. срок действия страховки. При въезде в страну обычно страховку не проверяют, но бывают и исключения. Страховка Вам нужна в случае болезни, травмы и иных страховых случаев. Страховой полис стоит недорого. Экономить на этом нельзя. Если Вы заболели или получили травму, но у Вас нет страхового полиса, мало Вам не покажется. Таких случаев масса. Лучше заплатить эти небольшие деньги и иметь возможность получить помощь по страховому полису. Никто не гарантирован ни от болезни, ни от несчастных случаев.

Срок действия посмотри своей страховки

Все сроки прописаны в самой страховке