как доехать до поселка Лазаревское из Москвы?

Любым поездом, который следует до Адлера. Остановка в Лазаревском есть всегда. Большинство поездов идут с Казанского вокзала.
http://rzd.ru/ вам в помощь.

Автостопом до Ростова на Дону! Машины туда идут круглосуточно и в большом количестве. С Ростова можно на автобусе.

Самолет до Сочи, электричка до Лазаревской.

Очень просто.
Съезд на М4-Дон - на 27 км. МКАДа, насколько я знаю.
А дальше - всё время по М4, на Юг, до Джубги. Потом - всё время по М-27 на Юг (там должны быть указатели на Сочи и Туапсе) .
Заблудиться будет очень сложно даже без навигатора.
После Московской области будет Липецкая, потом - Тульская, потом - Воронежская, потом - Ростовская, потом - Краснодарский край.
В Липецкой дорога превосходная, платная, но стоит копейки.
В Воронежской области будет место, километров, наверно, 40, там только по одной полосе движения в каждую сторону и грузовиков много. Но они там обычно прижимаются к обочине и дают проехать.
Ещё в Воронежской и Ростовской иногда попадается не очень хороший асфальт, но ничего катастрофического.
В Краснодарском крае дороги, в целом, хорошие, но тут на М4 очень длинные ремонты с ограничениями скорости. На М27 уже горные серпантины, дорога красивая, но на ней лучше не выпендриваться и ехать аккуратно, особенно с непривычки.
Очень рекомендую купить радар-детектор, если его ещё нет: на трассе много камер, а на Кубани - вышеуказанные ограничения с ремонтами.
Дорога нормальная, ничего сложного нет. Заправки встречаются регулярно. В Ростовской области очень много кафешек, на побережье, разумеется, тоже. В других регионах тоже встречаются.
За сутки можно добраться, если без ночёвки.

поездом, на автомобиле, мотоцикле, велосипеде, пешком

На поезде.